Verified answer

Ответ:

[tex]17[/tex]

Объяснение:

[tex]\angle BAC = 90^\circ-\angle ACH=\angle BCH[/tex] (синие углоки)

[tex]\triangle HAC \sim \triangle BCH \sim \triangle ABC[/tex] (по двум углам - один прямой, другой синий)

Отсюда следует пропорциональность сторон треугольников и радиусо вписаных окружностей.

Обозначим за [tex]R[/tex] радиус окружности вписанную в [tex]\triangle ABC[/tex], и за [tex]r_1[/tex] и [tex]r_2[/tex] радиусы окружностей, списаных в треугольники [tex]ACH[/tex] и [tex]BCH[/tex] соответсвенно.

Тогда из их подобия следует, что отношение радиуса [tex]r[/tex] вписаной окружности к гипотенузе треугольника (маленького или большого) постоянно и равно [tex]k[/tex].

[tex]r_1=AC\cdot k, ~~ r_2=BC\cdot k,~~R=AB\cdot k[/tex]

Запишем теорему Пифагора для [tex]\triangle ABC[/tex]

[tex]AC^2+BC^2=AB^2[/tex]

Умножим все на [tex]k^2[/tex]

[tex]AC^2+BC^2=AB^2~~\Big|~\cdot k^2\\\\AC^2\cdot k^2 + BC^2\cdot k^2=AB^2\cdot k^2\\\\(AC\cdot k)^2 + (BC\cdot k)^2=(AB\cdot k)^2\\\\r_1^2+r_2^2=R^2[/tex]

Выразим [tex]R[/tex] (искомый радиус)

[tex]\displaystyle R = \sqrt{r_1^2+r_2^2}=\sqrt{8^2+15^2}=\sqrt{64+225}=\sqrt{289}=\boxed{17}[/tex]