найдите катет прямоугольного треугольника, проекция которого на гипотенузу 3 см, если гипотенуза равна 27 см.
___________________________________
решение.
пусть [tex]ABC[/tex] - прямоугольный треугольник, [tex]BD[/tex] - проекция катета [tex]AB[/tex] на гипотенузу [tex]BC[/tex]. следовательно, [tex]AD[/tex] - высота [tex]\Delta ABC[/tex], проведенная к гипотенузе. тогда, по теореме о среднем пропорциональном, [tex]AD^2=27*3\Rightarrow AD=\sqrt{3^4} =9[/tex] см.
ответ: 9 см.
[tex]N5).[/tex]
BK - биссектриса треугольника АВС, АВ=6 см, ВС=10 см. меньший из отрезков, на которые биссектриса ВК делит сторону АС, равен 3 см. найти АС.
___________________________________
решение.
пусть меньшим из отрезков, на которые биссектриса [tex]BK[/tex] делит сторону [tex]AC[/tex], будет [tex]AK[/tex]. биссектриса делит сторону треугольника на отрезки пропорциональные прилежащим сторонам, следовательно, [tex]BC/KC=AB/AK\Rightarrow KC=BC*AK/AB=10*3/6=5[/tex] см; [tex]AC=AK+KC=3+5=8[/tex] см.
ответ: АС=8 см.
[tex]N6).[/tex]
найдите на рисунке подобные треугольники и докажите их подобие.
___________________________________
решение и ответ:
[tex]\Delta KAP\sim \Delta KMT[/tex] по 1ППТ ([tex]\measuredangle KPA=\measuredangle TMA[/tex] - по условию, [tex]\measuredangle K[/tex] - общий).
[tex]N7).[/tex]
стороны треугольника относятся как 3:4:6. найти неизвестные стороны подобного ему треугольника, сумма большей и меньшей стороны которого равна 27 см.
___________________________________
решение.
возьмем за х коэффициент подобия. тогда: [tex]3x+6x=27\Rightarrow x=3[/tex]. найдем стороны подобного треугольника: [tex]3*3=9[/tex] см, [tex]4*3=12[/tex] см, [tex]6*3=18[/tex] см.
ответ: 9 см, 12 см, 18 см.
[tex]N8).[/tex]
О - точка пересечения диагоналей трапеции АВСD с основаниями AB и CD, АО=9 см, OC=6 см. найти основания трапеции, если их сумма 25 см.
___________________________________
решение.
согласно свойстам трапеции, [tex]\Delta AOB\sim \Delta DOC\Rightarrow[/tex] коэффициент их подобия равен [tex]k=AO/OC=9/6=1,5[/tex] см. обозначим меньшее основание за [tex]x[/tex], тогда:
[tex]x+kx=AB+DC=27\Rightarrow x=27/(1+k)=27/2,5=10,8[/tex] см. найдем большее основание: [tex]kx=10,8*1,5=16,2[/tex] см.
ответ: 10,8 см, 16,2 см.
[tex]N9).[/tex]
найти высоту равнобедренной трапеции, основания которой равны 5 см и 3 см, а диагональ перпендикулярна к боковой стороне.
___________________________________
решение.
из построения следует, что высота равнобедренной трапеции [tex]ABCD[/tex] является также высотой и прямоугольного треугольника [tex]DBC[/tex]. как известно, высота прямоугольного треугольника, проведенная вершины прямого угла, является средним пропорциональным для отрезков, на которые гипотенуза делится высотой, - следовательно, [tex]BH=\sqrt{DH*HC} =\sqrt{\Bigg(AB+\dfrac{DC-AB}{2} \Bigg)* \dfrac{DC-AB}{2} } =\sqrt{\Bigg(3+\dfrac{5-3}{2}\Bigg)*\dfrac{5-3}{2} } =\sqrt{2^2} =2~~sm.[/tex]
Answers & Comments
Verified answer
[tex]N 4).[/tex]
найдите катет прямоугольного треугольника, проекция которого на гипотенузу 3 см, если гипотенуза равна 27 см.
___________________________________
решение.
пусть [tex]ABC[/tex] - прямоугольный треугольник, [tex]BD[/tex] - проекция катета [tex]AB[/tex] на гипотенузу [tex]BC[/tex]. следовательно, [tex]AD[/tex] - высота [tex]\Delta ABC[/tex], проведенная к гипотенузе. тогда, по теореме о среднем пропорциональном, [tex]AD^2=27*3\Rightarrow AD=\sqrt{3^4} =9[/tex] см.
ответ: 9 см.
[tex]N5).[/tex]
BK - биссектриса треугольника АВС, АВ=6 см, ВС=10 см. меньший из отрезков, на которые биссектриса ВК делит сторону АС, равен 3 см. найти АС.
___________________________________
решение.
пусть меньшим из отрезков, на которые биссектриса [tex]BK[/tex] делит сторону [tex]AC[/tex], будет [tex]AK[/tex]. биссектриса делит сторону треугольника на отрезки пропорциональные прилежащим сторонам, следовательно, [tex]BC/KC=AB/AK\Rightarrow KC=BC*AK/AB=10*3/6=5[/tex] см; [tex]AC=AK+KC=3+5=8[/tex] см.
ответ: АС=8 см.
[tex]N6).[/tex]
найдите на рисунке подобные треугольники и докажите их подобие.
___________________________________
решение и ответ:
[tex]\Delta KAP\sim \Delta KMT[/tex] по 1ППТ ([tex]\measuredangle KPA=\measuredangle TMA[/tex] - по условию, [tex]\measuredangle K[/tex] - общий).
[tex]N7).[/tex]
стороны треугольника относятся как 3:4:6. найти неизвестные стороны подобного ему треугольника, сумма большей и меньшей стороны которого равна 27 см.
___________________________________
решение.
возьмем за х коэффициент подобия. тогда: [tex]3x+6x=27\Rightarrow x=3[/tex]. найдем стороны подобного треугольника: [tex]3*3=9[/tex] см, [tex]4*3=12[/tex] см, [tex]6*3=18[/tex] см.
ответ: 9 см, 12 см, 18 см.
[tex]N8).[/tex]
О - точка пересечения диагоналей трапеции АВСD с основаниями AB и CD, АО=9 см, OC=6 см. найти основания трапеции, если их сумма 25 см.
___________________________________
решение.
согласно свойстам трапеции, [tex]\Delta AOB\sim \Delta DOC\Rightarrow[/tex] коэффициент их подобия равен [tex]k=AO/OC=9/6=1,5[/tex] см. обозначим меньшее основание за [tex]x[/tex], тогда:
[tex]x+kx=AB+DC=27\Rightarrow x=27/(1+k)=27/2,5=10,8[/tex] см. найдем большее основание: [tex]kx=10,8*1,5=16,2[/tex] см.
ответ: 10,8 см, 16,2 см.
[tex]N9).[/tex]
найти высоту равнобедренной трапеции, основания которой равны 5 см и 3 см, а диагональ перпендикулярна к боковой стороне.
___________________________________
решение.
из построения следует, что высота равнобедренной трапеции [tex]ABCD[/tex] является также высотой и прямоугольного треугольника [tex]DBC[/tex]. как известно, высота прямоугольного треугольника, проведенная вершины прямого угла, является средним пропорциональным для отрезков, на которые гипотенуза делится высотой, - следовательно, [tex]BH=\sqrt{DH*HC} =\sqrt{\Bigg(AB+\dfrac{DC-AB}{2} \Bigg)* \dfrac{DC-AB}{2} } =\sqrt{\Bigg(3+\dfrac{5-3}{2}\Bigg)*\dfrac{5-3}{2} } =\sqrt{2^2} =2~~sm.[/tex]
ответ: 2 см.