Ответ:   [tex]\boldsymbol{x_1x_2x_3x_4=9}[/tex]  .

[tex]\dfrac{2x}{x^2-2x-3}+\dfrac{3x}{x^2+2x-3}=\dfrac{7}{8}[/tex]  

[tex]x^2-2x-3=0\ \ ,\ \ x_1=-1\ ,\ x_2=3\ \ (teorema\ Vitta)\\\\x^2+2x-3=0\ \ ,\ \ x_1=-3\ ,\ x_2=1\ \ (teorema\ Vieta)[/tex]

Тогда знаменатели можно разложить на множители.

[tex]\dfrac{2x}{(x+1)(x-3)}+\dfrac{3x}{(x+3)(x-1)}=\dfrac{7}{8}\\\\\\\dfrac{2x(x+3)(x-1)+3x(x+1)(x-3)}{(x+1)(x-3)(x+3)(x-1)}=\dfrac{7}{8}\\\\\\8\cdot \Big(2x(x^2+2x-3)+3x(x^2-2x-3)\Big)=7(x^2-1)(x^2-9)[/tex]  

[tex]8\cdot \Big(2x^3+4x^2-6x+3x^3-6x^2-9x\Big)=7\cdot (x^4-10x^2+9)[/tex]

[tex]8\cdot \Big(5x^3-2x^2-15x\Big)=7\cdot (x^4-10x^2+9)\\\\40x^3-16x^2-120x=7x^4-70x^2+63\\\\7x^4-40x^3-54x^2+120x+63=0[/tex]

По обобщённой теореме Виета произведение корней уравнения

четвёртой  степени  [tex]a_4x^4+a_3x^3+a_2x^2+a_1x+a_0=0[/tex]   равно  

[tex]x_1x_2x_3x_4=\dfrac{a_0}{a_4}=\dfrac{63}{7}=9[/tex]  .