неравенство будет доказано, если доказать, что разность правой и левой частей больше нуля.

рассмотрим  разность правой и левой частей:

выделим полный квадрат разности

4р²+5-2р=(2р-0.5)²-0.25+5=4.75+(2р-0.5)²>0, т.к. 4.75- положительно, а

(2р-0.5)²≥0, а сумма положительного и неотрицательного чисел есть число положительно.

здесь использовал формулу а²-2ас+с²=(а-с)²

Verified answer

Ответ:

По определению число  а больше  числа  b  , если разность  (a-b) положительна, то есть  (a-b)>0 .

Поэтому, чтобы доказать, что  при любых значениях переменной  

[tex]4p^2+5 > 2p[/tex]  ,  надо доказать, что   [tex]4p^2+5-2p > 0[/tex]  .

Выделим полный квадрат из квадратного трёхчлена .

[tex]4p^2-2p+5=4\Big (p^2-\dfrac{1}{2}\, p\Big)+5=4\, \Big(\, \Big(p-\dfrac{1}{4}\Big)^2-\dfrac{1}{16}\Big)+5=\\\\\\=4\Big(p-\dfrac{1}{4}\Big)^2-\dfrac{1}{4}+5=4\Big(p-\dfrac{1}{4}\Big)^2+\dfrac{19}{4}[/tex]

Получили сумму , в которой одно слагаемое неотрицательное:  

[tex]4\Big(p-\dfrac{1}{4}\Big)^2\geq 0[/tex]  для любых значений  р ,  а второе слагаемое - положительное число  [tex]\dfrac{19}{4}=4\dfrac{3}{4} > 0[/tex]  .

Поэтому их сумма положительна :  [tex]4\Big(p-\dfrac{1}{4}\Big)^2+\dfrac{19}{4} > 0[/tex] ,

а значит   [tex]4p^2+5-2p > 0\ \ \Rightarrow \ \ \ 4p^2+5 > 2p[/tex]  при любом значении  p .