Ответ: 75°

Решение с объяснением: у нас есть два треугольника. Один с основанием 2а, другой с основанием 2а + а = 3а. У них имеются одна общая сторона. Обозначим ее как b.

Найдем углы, противолежащие сторонам 2а и 3а:

[tex]\alpha _{2a} =180-60-x[/tex]    ⇒     [tex]\alpha _{2a} =120-x[/tex]

[tex]\alpha _{3a}=180-45-x[/tex]    ⇒     [tex]\alpha _{3a}=135-x[/tex]

Теперь, пользуясь теоремой синусов, для каждого треугольника составим уравнение:

[tex]\frac{b}{sin60} =\frac{2a}{sin\alpha _{2a}}[/tex]     ⇒     [tex]b=\frac{2a}{sin\alpha _{2a}} *sin60[/tex]

[tex]\frac{b}{sin45} =\frac{3a}{sin\alpha _{3a}}[/tex]     ⇒     [tex]b=\frac{3a}{sin\alpha _{3a}} *sin45[/tex]

Приравняем их:

[tex]\frac{2a}{sin\alpha _{2a}} *sin60=\frac{3a}{sin\alpha _{3a}} *sin45[/tex]

[tex]\frac{2a}{sin(120-x)} *\frac{\sqrt{3} }{2} =\frac{3a}{sin(135-x)} *\frac{\sqrt{2} }{2}[/tex]

Обе части умножаем на 2/a:

[tex]\frac{2\sqrt{3} }{sin(120-x)} =\frac{3\sqrt{2} }{sin(135-x)}[/tex]

Через пропорцию получим:

[tex]2\sqrt{3} sin(135-x)=3\sqrt{2} sin(120-x)}[/tex]

[tex]\sqrt{2} sin(135-x)=\sqrt{3} sin(120-x)}[/tex]

Пользуясь формулой вычитания, раскрываем синусы:

[tex]\sqrt{2} (sin135*cosx-cos135*sinx)=\sqrt{3} (sin120*cosx-cos120*sinx)[/tex]

[tex]\sqrt{2} (\frac{\sqrt{2} }{2} cosx-(-\frac{\sqrt{2} }{2} )sinx)=\sqrt{3} (\frac{\sqrt{3} }{2} cosx-(-\frac{1}{2} )sinx)[/tex]

[tex]\sqrt{2} (\frac{\sqrt{2} }{2} cosx+\frac{\sqrt{2} }{2} sinx)=\sqrt{3} (\frac{\sqrt{3} }{2} cosx+\frac{1}{2} sinx)[/tex]

[tex]cosx+sinx=\frac{3}{2} cosx+\frac{\sqrt{3} }{2} sinx[/tex]

[tex]\frac{3}{2} cosx-cosx+\frac{\sqrt{3} }{2} sinx-sinx=0[/tex]

[tex](\frac{3}{2} -1)cosx+(\frac{\sqrt{3} }{2} -1)sinx=0[/tex]

[tex]\frac{1}{2} cosx+\frac{\sqrt{3} -2}{2} sinx=0[/tex]

Обе части умножаем на 2 и делим на косинус икса:

[tex]cosx+(\sqrt{3} -2}) sinx=0[/tex]

[tex]1+(\sqrt{3} -2}) tgx=0[/tex]

Найдем тангенс угла:

[tex](\sqrt{3} -2}) tgx=-1[/tex]

[tex]tgx=-\frac{1}{\sqrt{3} -2}} }[/tex]

[tex]tgx=-\frac{1}{\sqrt{3} -2}*\frac{\sqrt{3} +2}{\sqrt{3} +2}}[/tex]

[tex]tgx=-\frac{\sqrt{3} +2}{3-4}[/tex]

[tex]tgx=\sqrt{3} +2[/tex]

Найдем угол х:

[tex]x=arctg(\sqrt{3} +2)[/tex]

[tex]x=75[/tex]

Угол х равен 75°.