Verified answer

Ответ:

1)  Найдём производную дроби по формуле  [tex]\bf \Big(\dfrac{u}{v}\Big)'=\dfrac{u'v-uv'}{v^2}[/tex]  .

[tex]\bf y=\dfrac{x-7}{x^2-3}\ \ ,\ \ x_0=2\\\\\\y'=\dfrac{2\cdot (x^2-3)-(x-7)\cdot 2x}{(x^2-3)^2}=\dfrac{14x-6}{(x^2-3)^2}[/tex]  

Подставим значение  х=2 .

[tex]\bf y'(x)=\dfrac{14\cdot 2-6}{(2^2-3)^2}=\dfrac{22}{1}=22[/tex]                  

[tex]\bf 2)\ \ f(x)=\dfrac{1}{3}\, x^3+x^2[/tex]  

Так как касательная  параллельна прямой  [tex]\bf y=8x[/tex]  , то их угловые коэффициенты равны . Угловой коэффициент прямой равен  k=8 , а угловой коэффициент касательной равен  [tex]\bf k=f'(x_0)[/tex] , где  [tex]\bf x_0[/tex] - точка  касания.

[tex]\bf f'(x)=x^2+2x\ \ ,\\\\x^2+2x=8\ \ ,\ \ x^2+2x-8=0\neq \ \ \to \ \ (x+1)^2-7=0\ \ ,\\\\(x+1-\sqrt7)(x+1+\sqrt7)=0\\\\x_1=-1+\sqrt7\ ,\ x_2=-1-\sqrt7[/tex]

Абсциссы точек касания :  [tex]\bf x_1=-1+\sqrt7\ ,\ x_2=-1-\sqrt7[/tex]  

Сумма абсцисс равна  [tex]\bf x_1+x_2=-2[/tex]  .