Ответ:

Замена переменных в неопределённом интеграле .

[tex]\bf \displaystyle \int \frac{5\, cos\dfrac{x}{3}\, dx}{\sqrt{sin^2\dfrac{x}{3}+3}}=\Bigg[\ t=sin\frac{x}{3}\ ,\ dt=\dfrac{1}{3}cos\frac{x}{3}\, dx\ \Bigg]=5\cdot 3\int \frac{dt}{\sqrt{t^2+3}}}=\\\\\\=15\cdot ln\Bigg|\, t+\sqrt{t^2+3}}\, \Bigg|+C=15\cdot ln\Bigg|\, sin\frac{x}{3}+\sqrt{sin^2\frac{x}{3}+3}\ \Bigg|+C[/tex]

 Подведение под знак дифференциала .

[tex]\bf \displaystyle \int \frac{5\, cos\dfrac{x}{3}\, dx}{\sqrt{sin^2\dfrac{x}{3}+3}}=15\int \frac{d(sin\dfrac{x}{3})}{\sqrt{sin^2\dfrac{x}{3}+3}}}=15\cdot ln\Bigg|\, sin\frac{x}{3}+\sqrt{sin^2\dfrac{x}{3}+3}}\, \Bigg|+C[/tex]