98 баллов за одну задачу! Заранее спасибо!
Представьте число 100 в виде суммы нескольких натуральных чисел так, чтобы их произведение было наибольшим. И докажите, что большее произведение получить нельзя.
Пожалуйста, подробное решение, БЕЗ производных.
Представьте число 100 в виде суммы нескольких натуральных чисел так, чтобы их произведение было наибольшим. И докажите, что большее произведение получить нельзя.
Пожалуйста, подробное решение, БЕЗ производных.
More Questions From This User See All
Answers & Comments
Verified answer
Ответ:
Пошаговое объяснение:
В искомом разложении не может быть чисел n ≥ 5. Действительно, если n заменить на два числа 2 и (n - 2), то вклад в произведение изменится на 2 * (n - 2) - n = n - 4 > 0, что противоречит предположению о максимальности произведения.
Можно считать, что в разложении нет и четверок, их можно поменять на две двойки, произведение от этого не меняется.
Кроме того, очевидно, что брать слагаемыми единицы невыгодно: если есть два слагаемых 1 и n, их можно заменить на (n + 1) и увеличить произведение.
Наконец, двоек может быть не больше двух: если двоек хотя бы три, то три двойки можно поменять на две тройки, произведение увеличится (2 * 2 * 2 < 3 * 3).
Итак, в искомом разложении есть только двойки и тройки, причём двоек не больше двух.
Остаётся перебрать три варианта:
1) Двоек нет. Так не может быть, 100 не делится на 3.
2) Двойка одна. Тогда троек (100 - 2)/3 - нецелое число?! Тоже невозможный сценарий.
3) Двойки две. Тогда троек 32, а произведение равно
. Исходя из написанного выше, большее произведение не получить.