98 баллов! Заранее спасибо! а). Представьте число 100 в виде суммы нескольких на...

July 2022 1 52 Report

98 баллов! Заранее спасибо!
а). Представьте число 100 в виде суммы нескольких натуральных чисел так, чтобы их произведение было наибольшим. И докажите, что большее произведение получить нельзя.
б). Перемножили три тысячи двоек. Докажите, что в записи получившегося числа:
не более 1000 цифр и не менее 900 цифр.

Answers & Comments

Guerrino

а)Пусть $\sum\limits_{i=1}^{n}a_{i}=100$ , при этом $\prod\limits_{i=1}^{n}a_{i}=P\leq \frac{(\sum\limits_{i=1}^{n}a_{i})^{n}}{n^{n}}=\frac{100^n}{n}$ ; Пусть $f(x)=\frac{100^x}{x^x}$ , тогда $f'(x)=2\ln(10)100^x-100^x-100^x\ln(x)$ ; Экстремум находится в точке $x=\frac{100}{e}$ ; $\frac{100}{e}\approx36,8$ ; Поэтому при $n=37$ достигается максимум, т.е. 100 должно быть представлено в виде 37-ми слагаемых. А, значит, каждое из слагаемых либо 3, либо 2. Значит, искомое произведение есть число вида $3^m\times 2^n,\; 3m+2n\leq 100$ . $p=3^m\times 2^\frac{100-3m}{2}=2^{50}\times (\frac{3}{2\sqrt{2}})^{m}$ , поэтому чем больше m, тем лучше (возраст. функция). Стало быть, m=32, а искомый набор: $\{2, 2,\;3,...,\;3\}$ - 32 тройки и две двойки.

б) Нужно доказать неравенства: $10^{899}\leq 2^{3000}\leq 10^{999}$

Покажем справедливость первого: $2^{3000}>10^{900} \Leftrightarrow 2^{10}>10^{3}\; \checkmark$

Теперь второго: $2^{3000}$

4 votes Thanks 4

DNHelper Внезапно, но 3^32*4 > 3^33

Guerrino знаю, сейчас исправлю, поторопился

Guerrino теперь вроде все

Answers & Comments

zadacha v dve strochki 98 ballov zaranee spasibo tomu kto reshit otvet kazhetsya

tex sosednie chisla otlichayutsya na 1 ili na 1000 no ni odno chislo ne delitsya na

98 ballov zadacha menshe chem v dve strochki zaranee spasibo pozhalujsta s prim

98 ballov pozhalujsta obyasnite kak reshat zadachi takogo vida eshe privedite r

zadacha dlya 5 7 klassov v dve strochki 98 ballov reshenie mozhno vzyat iz internet

98 ballov zadacha dlya 5 7 klassov pomogite reshit zadachi v dve strochki zaranee

98 ballov zadacha dlya 5 7 klassov pozhalujsta s podrobnym resheniem zaranee sp

2 vershinami i sprashivaetsya pri kakih n v ego vershinah mozhno rasstavit chisla o

98 ballov zadacha dlya 5 7 klassov pozhalujsta pomogite reshit zaranee spasibo

2000 beskonechno mnogo

рекомендуемые вопросы

Helpful Links

Helpful Social