Ответ:

[tex]y=-\sqrt{4x+1}[/tex]

Пошаговое объяснение:

 y³y''+4=0 - это дифференциальное уравнение 2-го порядка, допускающее понижение порядка благодаря тому, что в уравнении в явном виде нет аргумента x.  В этом случае теория рекомендует замену y'=p(y), при этом y''=p'p (не забывайте, что y является функцией от x и производную от y' берем по x, а p  является функцией от  y, поэтому [tex]p'_x=p'(y)\cdot y'=p'p.[/tex] Мы воспользовались формулой производная слолжной функции. Получаем

[tex]y^3p'p=-4;\ p\,dp=-\dfrac{4\,dy}{y^3}; \int p\,dp=-4\int \dfrac{dy}{y^3};\ \dfrac{p^2}{2}=\dfrac{2}{y^2}+C;\ y'^2=\dfrac{4}{y^2}+2C.[/tex]

Подставив начальные условия, находим C:

[tex](-2)^2=\dfrac{4}{(-1)^2}+2C; \ 4=4+2C;\ 2C=0; \ y'^2=\dfrac{4}{y^2};\ y'=\pm\dfrac{2}{y}.[/tex]

Снова подставляем начальные условия, чтобы определиться со знаком:

[tex]-2=\pm\dfrac{2}{-1},[/tex] поэтому выбираем плюс, [tex]y'=\dfrac{2}{y};\ y\, dy=2\,dx; \int y\, dy=2\int x\, dx;\ \dfrac{y^2}{2}=2x+C;\ y^2=4x+2C.[/tex]

Еще раз подставляем начальные условия:

[tex](-1)^2=4\cdot 0+2C;\ 2C=1\Rightarrow y^2=4x+1;\ y=\pm\sqrt{4x+1}.[/tex]

Чтобы определиться со знаком, опять обращаемся к начальным условиям:

[tex]-1=\pm\sqrt{4\cdot 0+1};\ -1=\pm 1,[/tex] поэтому выбираем минус. Окончательно

[tex]y=-\sqrt{4x+1}.[/tex]