Ответ:

[tex]b^{2} =1[/tex]

Объяснение:

Дан квадратный трехчлен [tex]f(x) = x^{2} +bx+1[/tex]. Известно, что касательные к графику функции, проходящие через начало координат, пересекаются под углом arctg2. Найдите  b²

Если касательные проходят через начало координат , то они задаются уравнением y=kx , где  [tex]k= f'(x{_0})[/tex]   и  [tex]x{_0}[/tex] - абсцисса точки касания. Найдем абсциссы точек касания

[tex]f'(x) =( x^{2} +bx+1)'=2x+b[/tex]

Тогда

[tex]f'(x{_0}) =2x{_0}+b[/tex]

и уравнение касательной имеет вид [tex]y= ( 2x{_0}+b) \cdot x[/tex]

Значения функции в точке касания у касательной и функции равны, составим уравнение и найдем абсциссы точек касания

[tex](2x{_0+b) \cdot x{_0} = x{_0}^{2} +bx{_0} +1;[/tex]

[tex]2x{_0^{2} +b x{_0} - x{_0}^{2} -bx{_0} -1=0;[/tex]

[tex]x{_0}^{2}=1[/tex]

[tex]x{_0}= 1[/tex]  или [tex]x{_0}=- 1[/tex]

Найдем значения угловых коэффициентов касательных в полученных точках

[tex]k{_1}= 2\cdot1+b=2+b[/tex]

[tex]k{_2}= 2\cdot(-1)+b=-2+b[/tex]

Так как значения производной в точке касания равно тангенсу угла наклона касательной с положительным направлением оси абсцисс.

Тогда

[tex]tg\alpha {_1} = 2+b[/tex]

[tex]tg\alpha {_2} =-2+b[/tex]

По условию известно, что касательные к графику функции пересекаются под углом arctg2.

Тогда ( на рисунке схематично показано)

[tex]\alpha {_2} -\alpha {_1}= arctg2[/tex]

[tex]tg(\alpha {_2} -\alpha {_1})=tg( arctg2)[/tex]

[tex]tg(\alpha {_2} -\alpha {_1})=2[/tex]

Воспользуемся формулой тангенса разности

[tex]tg(\alpha -\beta )= \dfrac{tg\alpha -tg\beta }{1+tg\alpha tg\beta }[/tex]

[tex]\dfrac{b-2-(b+2) }{1+(b-2)(b+2) } =2[/tex]

[tex]\dfrac{b-2-b-2 }{1+b^{2} -4 } =2[/tex]

[tex]\dfrac{-4 }{b^{2} -3} =2[/tex]

[tex]b^{2} -3=-2;\\b^{2} =1[/tex]

#SPJ1