Ответ:

[tex]x = {( - 1)^n}\arcsin \frac{{\sqrt 5 - 3}}{2} + \pi n, n\in {\rm Z}.[/tex]

Пошаговое объяснение:

[tex]{\sin ^4}x - \sin 2x\cos x + {\cos ^2}x + 4\sin x = 0;\\{\sin ^4}x - 2\sin x{\cos ^2}x + {\cos ^2}x + 4\sin x = 0;\\{\sin ^4}x + {\cos ^2}x(1 - 2\sin x) + 4\sin x = 0;\\{\sin ^4}x + (1 - {\sin ^2}x)(1 - 2\sin x) + 4\sin x = 0;\\{\sin ^4}x + 1 - 2\sin x - {\sin ^2}x + 2{\sin ^3}x + 4\sin x = 0;\\{\sin ^4}x + 2{\sin ^3}x - {\sin ^2}x + 2\sin x + 1 = 0.[/tex]

Поделим полученное уравнение на [tex]{\sin ^2}x \ne 0[/tex]:

[tex]{\sin ^2}x + 2\sin x - 1 + \frac{2}{{\sin x}} + \frac{1}{{{{\sin }^2}x}} = 0;\\\left( {{{\sin }^2}x + \frac{1}{{{{\sin }^2}x}}} \right) + 2\left( {\sin x + \frac{1}{{\sin x}}} \right) - 1 = 0.[/tex]

Сделаем замену [tex]t = \sin x + \frac{1}{{\sin x}},[/tex] тогда [tex]{t^2} = {\sin ^2}x + 2 + \frac{1}{{{{\sin }^2}x}},[/tex] откуда [tex]{\sin ^2}x + \frac{1}{{{{\sin }^2}x}} = {t^2} - 2.[/tex]

Заметим, что [tex]t[/tex] как сумма двух взаимно обратных величин всегда по модулю не меньше 2.

[tex]{t^2} - 2 + 2t - 1 = 0;\\{t^2} + 2t - 3 = 0;\\(t + 3)(t - 1) = 0;[/tex]

[tex]t = - 3,[/tex]  [tex]t = 1[/tex] (посторонний корень).

Делаем обратную замену:

[tex]\sin x + \frac{1}{{\sin x}} = - 3;\\{\sin ^2}x + 3\sin x + 1 = 0.[/tex]

Делаем замену [tex]y = \sin x,[/tex] [tex]\left| y \right| \le 1,[/tex] [tex]{y^2} + 3y + 1 = 0.[/tex]

Дискриминант последнего квадратного уравнения [tex]D = 9 - 4 = 5,[/tex] корни [tex]y = \frac{{ - 3 \pm \sqrt 5 }}{2}.[/tex]

Значение [tex]\frac{{ - 3 - \sqrt 5 }}{2} < - 1,[/tex] поэтому [tex]\sin x = \frac{{\sqrt 5 - 3}}{2},[/tex] откуда [tex]x = {( - 1)^n}\arcsin \frac{{\sqrt 5 - 3}}{2} + \pi n,[/tex] [tex]n\in {\rm Z}.[/tex]