Ответ:

Периметр треугольника 32 см, а меньшая высота  3,2 см.

Объяснение:

В треугольнике АВС  R= 8,125 см, cosB = -5/13, cos C =0,6. Найти периметр и наименьшую его высоту .

Пусть дан Δ АВС , так  как cosB отрицательное число, то этот угол тупой и треугольник тупоугольный.

Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством и найдем синусы данных углов.

[tex]sin^{2} B +cos^{2} B=1;\\sin^{2} B =1- cos^{2} B;\\\\sin^{2} B=1-\left (-\dfrac{5}{13}\right )^{2} =1- \dfrac{25}{169} =\dfrac{169}{169} -\dfrac{25}{169} =\dfrac{144}{169} ;\\\\sinB =\dfrac{12}{13}[/tex]

[tex]sin^{2} C +cos^{2}C=1;\\sin^{2} C =1- cos^{2}C;\\\\sin^{2}C=1-(0,6)^{2} =1-0,36=0,64;\\sinC =\sqrt{0,64} =0,8[/tex]

Воспользуемся следствием из теоремы синусов

[tex]\dfrac{AB}{sinC} =\dfrac{AC}{sinB} =\dfrac{BC}{sinA} =2R[/tex]

Так как по условию R= 8,125 см, то 2R= 16,25 см

Тогда

[tex]\dfrac{AB}{0,8} =16,25;\\\\AB =16,25\cdot 0,8=13[/tex] см

[tex]\dfrac{AC}{sinB} =2R\\\\AC = 16,25 \cdot \dfrac{12}{13} = 16\dfrac{1}{4} \cdot \dfrac{12}{13} = \dfrac{65}{4} \cdot \dfrac{12}{13} =\dfrac{13\cdot5\cdot 4\cdot3}{4\cdot13} =15[/tex]  см.

Найдем синус угла А . Сумма углов треугольника равна 180°.

Тогда ∠ А = 180° - (∠В+∠С)

sinA =sin( 180° - (∠В+∠С) ) =sin (∠В+∠С)=sinB·cosC +cos B ·sin C ;

[tex]sin A = \dfrac{12}{13} \cdot 0,6 +\left(- \dfrac{5}{13}\right )\cdot 0,8= \dfrac{12}{13} \cdot \dfrac{6}{10} - \dfrac{5}{13} \cdot \dfrac{8}{10} =\dfrac{72}{130}- \dfrac{40}{130} =\dfrac{32}{130} =\dfrac{16}{65}.[/tex]

[tex]\dfrac{BC}{sinA} =2R;\\\\BC = 2R \cdot sinA;\\\\BC =16,25\cdot \dfrac{16}{65} =16\dfrac{1}{4} \cdot \dfrac{16}{65} =\dfrac{65}{4} \cdot\dfrac{16}{65} =4[/tex]  см.

Периметр треугольника - это сумма длин всех сторон треугольника.

Р =АВ +ВС +АС ;

Р = 13см + 4 см + 15 см = 32 см.

Проведем меньшую высоту ВН  (она проведена к большей стороне АС. Сторона АС - наибольшая, так как она лежит напротив тупого угла В)

Рассмотрим ΔСНВ - прямоугольный

Синусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к гипотенузе.

[tex]sin C =\dfrac{BH}{BC } ;\\\\BH = BC \cdot sin C;\\\\BH = 4 \cdot 0,8= 3,2[/tex] см.

Тогда меньшая высота равна 3,2 см.

#SPJ1