Ответ:

Cечение куба, проходящее через точки М, К и B1, является пятиугольником, его площадь S=7√17/24≈1.2026.

Объяснение:

Дано куб ABCDA1B1C1D1, ребро которого равно 1. Точки М и К являются серединами ребер АD и СD соответственно. Постройте сечение этого куба, проходящего через точки М, К и B1, и выясните, какой геометрической фигурой является это сечение (доказать). Найдите его площадь S.

-------

1. Построение сечения (приложение 1)

Проведем прямую MK и продолжим прямые BA и BC до пересечения с ней. Получим точки E и F соответственно, которые принадлежат плоскости будущего сечения.

Проведем прямы из вершины B1 к точкам E и F, они пересекут ребра AA1 и CC1 в точках в точках L и N соответственно. Точки L и N также принадлежат плоскости будущего сечения.

Соединим L с M и N с K - получим сечение B1NKML, который является пятиугольником.

2. Вычисление площади (приложение 2)

Чтобы вычислить его площадь, проведем дополнительные построения.

Проведем прямую BD, она пересечет прямую MK в точке Q, проведем прямую B1Q и прямую LN, они пересекутся в точке O.

Из точки O проведем перпендикуляр к основанию куба OH. Точка H - пересечение диагоналей основания куба.

Отрезок LN разделил сечение на две фигуры: треугольник B1LN и четырехугольник LNKM.

Все построения симметричны относительно плоскости B1QB, поэтому треугольник B1LN - равнобедренный B1L=B1N, а B1O является его высотой.

AL=CN и перпендикулярны плоскости основания куба ABCD, а значит LN параллельна плоскости этого основания и в частности параллельна прямой MK. Четырехугольник LNKM является равнобедренной трапецией LM=NK.

LN=AC=√(AB²+BC²) = √2

MK является средней линией треугольника ACD и равна половине AC: MK = AC/2 = √2/2, а также делит его высоту DH на равные части: DQ=QH.

Тогда BQ = BH+HQ = √2/2+√2/4 = 3√2/4

B1Q = √(BB1²+BQ²) = √(1+(3√2/4)²) = √(8/8+9/8) = √(17/8) = √34/4

Треугольники BB1Q и HOQ подобны по двум углам, поэтому составим пропорцию:

B1Q:OQ = BQ:HQ = 3√2/4:√2/4 = 3

OQ = B1Q:3 = √34/4:3 = √34/12

B1O = B1Q-OQ = √34/4-√34/12 = 2√34/12 = √34/6

Теперь есть все данные, чтобы посчитать площадь сечения:

SΔB1LN = LN*B1O/2 = (√2*√34/6)/2 = √17/6

S(LNKM) = (LN+MK)*OQ/2 = (√2+√2/2)*(√34/12)/2 = (3√2/2)*√34/24 = √2*√34/16 = 2*√17/16 = √17/8

S(B1NKML) = √17/6+√17/8 = (4√17+3√17)/24 = 7√17/24 ≈ 1.2026

3. Вычисление площади (вариант)

Площадь ортогональной проекции выпуклого многоугольника на плоскость равна площади проецируемого многоугольника, умноженной на косинус угла между плоскостями многоугольника и его проекции:

S(MABCK) = S(B1NKML)*cos(∠B1QB)

Отсюда:

S(B1NKML) = S(MABCK)/cos(∠B1QB)

Площадь проекции равна площади основания за вычетом треугольника MKD:

S(MABCK) = S(ABCD)-S(MKD) = 1-(1/2)*(1/2)/2 = 1-1/8 = 7/8

Треугольник B1QB прямоугольный, поэтому косинус ∠B1QB - это отношение прилежащей стороны BQ к диагонали B1Q:

cos(∠B1QB) = BQ/B1Q = (3√2/4)/(√34/4) = 3/√17

Подставляем:

S(B1NKML) = (7/8)/(3/√17) = 7√17/24 ≈ 1.2026

#SPJ5