Verified answer

Найдём точку А пересечения заданных прямой и плоскости.

Подставим в уравнение плоскости значения переменных.

2*(3 + 5t) - 2*(-1 + t) + 3*(4 + t) - 5 = 0.

6 + 10t + 2 - 2t + 12 + 3t - 5 = 0.

11t + 15 = 0.

t = -15/11.

Подставив в уравнение прямой, находим координаты точки А:

x(А) =3 + 5*(-15/11) = -42/11,

y(А) = -1 + (-15/11) = -26/11,

z(A) = 4 + (-15/11) = 29/11.

Теперь возьмём любую точку на заданной прямой и спроецируем её на плоскость с учётом того, что нормальный вектор плоскости является направляющим вектором перпендикуляра к плоскости.

Примем t = 2.

x(B) =3 + 5*2 = 13,

y(B) = -1 + 1*2 = 1,

z(B) = 4 + 1*2 = 6 .

Уравнение перпендикуляра ВВ1 к плоскости из точки В:

(x - 13)/2 = (y - 1)/(-2) = (z - 6)/3 = t.

x = 2t + 13,

y = -2t + 1,

z = 3t + 6.

Подставим в уравнение плоскости и получим координаты проекции точки В на заданную плоскость.

2*(13 + 2t) - 2*(1 - 2t) + 3*(6 + 3t) - 5 = 0.

26 + 4t - 2 + 4t + 18 + 9t - 5 = 0.

17t + 37 = 0.

t = -37/17.

Подставив в уравнение прямой, находим координаты точки В1:

x(В1) =3 + 5*(-37/17) = 147/17,

y(В1) = -1 + (-37/17) = 91/17,

z(В1) = 4 + (-37/17) = -9/17.

Теперь по двум точкам (А и В1) на заданной плоскости находим уравнение проекции прямой.

Вектор АВ1:

x(AB1) = (147/17) - (-42/11) = 2331/187.

y(АB1) = (91/17)) - (-26/11) = 1443/187.

z(AВ1) = (-9/17) - (29/11) = -592/187.

Уравнение АВ1:

(x - (-42/11))/(2331/187) = (y - (-26/11))/(1443/187) = (z - (29/11))/(-592/187).

Ответ: уравнение проекции прямой на плоскость имеет вид

(x + (42/11))/(2331/187) = (y + (26/11))/(1443/187) = (z - (29/11))/(-592/187).