Verified answer

10.1

[tex]5^{5n+1}+4^{5n+2}+3^{5n}[/tex]

Докажем утверждение методом математической индукции.

I) Проверим справедливость утверждения при [tex]n=1[/tex]:

[tex]5^{5\cdot1+1}+4^{5\cdot1+2}+3^{5\cdot1}=5^6+4^7+3^5=15\ 625+16\ 384+243=32\ 252\ \vdots\ 11[/tex]

Верно.

II) Предположим, что при [tex]n=k[/tex] утверждение верно, то есть:

[tex]\left(5^{5k+1}+4^{5k+2}+3^{5k}\right)\ \vdots\ 11[/tex]

III) Докажем, что и при [tex]n=k+1[/tex] утверждение будет верно:

[tex]5^{5(k+1)+1}+4^{5(k+1)+2}+3^{5(k+1)}=5^{5k+5+1}+4^{5k+5+2}+3^{5k+5}=[/tex]

[tex]=5^5\cdot 5^{5k+1}+4^5\cdot 4^{5k+2}+3^5\cdot3^{5k}=[/tex]

[tex]=(5^{5k+1}+4^{5k+2}+3^{5k})+(5^5-1)\cdot 5^{5k+1}+(4^5-1)\cdot 4^{5k+2}+(3^5-1)\cdot3^{5k}[/tex]

Первое слагаемое делится на 11 по предположению, сделанному в предыдущем пункте.

Найдем следующие значения:

[tex]5^5-1=(5-1)\cdot(5^4+5^3+5^2+5+1)=4\cdot781\ \vdots\ 11[/tex]

[tex]4^5-1=(4-1)\cdot(4^4+4^3+4^2+4+1)=3\cdot341\ \vdots\ 11[/tex]

[tex]3^5-1=(3-1)\cdot(3^4+3^3+3^2+3+1)=2\cdot121\ \vdots\ 11[/tex]

Таким образом, каждое из трех оставшихся слагаемых содержит множитель, который делится на 11. Значит, все слагаемые делятся на 11, тогда и сумма делится на 11.

[tex]\underset{\vdots\ 11}{\underbrace{(5^{5k+1}+4^{5k+2}+3^{5k})}}+\underset{\vdots\ 11}{\underbrace{(5^5-1)}}\cdot 5^{5k+1}+\underset{\vdots\ 11}{\underbrace{(4^5-1)}}\cdot 4^{5k+2}+\underset{\vdots\ 11}{\underbrace{(3^5-1)}}\cdot3^{5k}[/tex]

Доказано.

10.2

Рассмотрим заданное соотношение:

[tex]\dfrac{1}{b} +\dfrac{b+1}{2} =3.5[/tex]

[tex]\dfrac{1}{b} +\dfrac{b}{2}+\dfrac{1}{2} =3.5[/tex]

[tex]\dfrac{1}{b} +\dfrac{b}{2}+0.5 =3.5[/tex]

[tex]\dfrac{1}{b} +\dfrac{b}{2} =3[/tex]

Возведем обе части выражения в квадрат:

[tex]\left(\dfrac{1}{b} +\dfrac{b}{2}\right) ^2=3^2[/tex]

[tex]\left(\dfrac{1}{b} \right)^2+2\cdot\dfrac{1}{b}\cdot \dfrac{b}{2} +\left(\dfrac{b}{2}\right) ^2=9[/tex]

[tex]\dfrac{1}{b^2} +1 +\dfrac{b^2}{4}=9[/tex]

[tex]\dfrac{1}{b^2} +\dfrac{b^2}{4}=9-1[/tex]

[tex]\dfrac{4+b^4}{4b^2} =8[/tex]

[tex]\dfrac{4b^2}{4+b^4} =\dfrac{1}{8}[/tex]

[tex]\dfrac{b^2}{b^4+4} =\dfrac{1}{32}[/tex]

Ответ: 1/32