Ответ:

[tex]\pm 5\sqrt{5}.[/tex]

Объяснение:

Хорошая задача с  "подковырками". ОДЗ: [tex]x\in (-\infty; -5)\cup [5;+\infty).[/tex]

1 случай: x≥5⇒ [tex]\sqrt{x^2-25}=\sqrt{x+5}\cdot \sqrt{x-5}.[/tex] Преобразуем:

[tex]2x-2\sqrt{x^2-25}=\dfrac{(x-5)^2}{x+5}; (x+5)-2\sqrt{x+5}\cdot \sqrt{x-5}+(x-5)=\dfrac{(x-5)^2}{x+5};[/tex]

                        [tex](\sqrt{x+5}-\sqrt{x-5})^2=\left(\dfrac{(\sqrt{x-5})^2}{\sqrt{x+5}}\right)^2.[/tex]

Извлекая корни, мы должны писать модули, но мы их опускаем в силу неотрицательности подмодульных выражений:

       [tex]\sqrt{x+5}-\sqrt{x-5}=\dfrac{(\sqrt{x-5})^2}{\sqrt{x+5}};\ \left(\dfrac{\sqrt{x-5}}{\sqrt{x+5}}\right)^2+\dfrac{\sqrt{x-5}}{\sqrt{x+5}}-1=0;[/tex]

[tex]\dfrac{\sqrt{x-5}}{\sqrt{x+5}}=\dfrac{-1+\sqrt{5}}{2};\ x-5=\dfrac{3-\sqrt{5}}{2}(x+5);\ 2x-10=(3-\sqrt{5})(x+5);[/tex]

[tex](\sqrt{5}-1)x=25-5\sqrt{5};\ x=\dfrac{5\sqrt{5}(\sqrt{5}-1)}{\sqrt{5}-1}=5\sqrt{5} > 5.[/tex]

2-й случай: x<-5⇒[tex]\sqrt{x^2-25}=\sqrt{(x+5)(x-5)}=\sqrt{(-5-x)(5-x)}=\sqrt{-5-x}\cdot\sqrt{5-x}.[/tex] Имеем:

               [tex](-5-x)+2\sqrt{-5-x}\cdot \sqrt{5-x}+(5-x)=\dfrac{(5-x)^2}{-5-x};[/tex]

                        [tex](\sqrt{-5-x}+\sqrt{5-x})^2=\left(\dfrac{(\sqrt{5-x})^2}{\sqrt{-5-x}}\right)^2;[/tex]

                             [tex]\sqrt{-5-x}+\sqrt{5-x}=\dfrac{(\sqrt{5-x})^2}{\sqrt{-5-x}};[/tex]

                           [tex]\left(\dfrac{\sqrt{5-x}}{\sqrt{-5-x}}\right)^2-\dfrac{\sqrt{5-x}}{\sqrt{-5-x}}-1=0;[/tex]

                  [tex]\dfrac{\sqrt{5-x}}{\sqrt{-5-x}}=\dfrac{1+\sqrt{5}}{2};\ 5-x=\dfrac{3+\sqrt{5}}{2}(-5-x);[/tex]

[tex]10-2x=-15-5\sqrt{5}-(3+\sqrt{5})x;\ (\sqrt{5}+1)x=-25-5\sqrt{5};\ x=-5\sqrt{5} < -5.[/tex]

Ответ: [tex]\pm5\sqrt{5}.[/tex]

Замечание. Поскольку задача достаточно сложная, я опускал некоторые очевидные места. Например, учитывая, что годятся только положительные корни уравнения, я отрицательные корни просто не выписывал.