Переріз гіперболоїду площиною z=h:

Підставляємо z=h на рівняння гіперболоїда:

x^2/a^2 + y^2/b^2 - h^2/c^2 = 1

Переносимо доданок h^2/c^2 в ліву частину рівняння:

x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1 + h^2/c^2

Отримали рівняння еліпса з півосями a та b і центром на початку координат.

Переріз гіперболоїду площиною у = n:

Підставляємо у = n рівняння гіперболоїда:

x^2/a^2 + n^2/b^2 - z^2/c^2 = 1

Переносимо доданок n^2/b^2 в ліву частину рівняння:

x^2/a^2 - z^2/c^2 = 1 - n^2/b^2

Замінюємо x^2 на (ac/t)^2, де t^2 = a^2 - c^2:

(ac/t)^2/t^2 - z^2/c^2 = 1 - n^2/b^2

Спрощуємо:

z^2/c^2 = n^2/b^2 - t^2 - a^2c^2/b^2t^2

Висловлюємо z:

z = c * sqrt(n^2/b^2 - t^2 - a^2c^2/b^2t^2)

Отримали рівняння гіперболи з вертикальною віссю та центром на початку координат.

Переріз гіперболоїду площиною x=m:

Підставляємо x=m рівняння гіперболоїда:

m^2/a^2 + y^2/b^2 - z^2/c^2 = 1

Переносимо доданок m^2/a^2 в ліву частину рівняння:

y^2/b^2 - z^2/c^2 = 1 - m^2/a^2

Замінюємо y^2 на (bc/t)^2, де t^2 = b^2 - c^2:

(bc/t)^2/t^2 - z^2/c^2 = 1 - m^2/a^2

Спрощуємо:

z^2/c^2 = bc^2/t^2 - (bc^2/t^2) * (m^2/a^2) - c^2

Висловлюємо z:

z = c * sqrt(bc^2/t^2 - (bc^2/t^2) * (m^2/a^2) - c^2)

Отримали рівняння гіперболи з вертикальною віссю та центром на початку координат.