Ответ.

     Найти   [tex]\bf sin2a[/tex]  .

[tex]\bf ctga=-\dfrac{3}{4}\ \ ,\ \ \ 90^\circ < a < 180^\circ[/tex]  

Тождество :   [tex]\bf tga\cdot ctga=1\ \ \ \Rightarrow \ \ \ tga=\dfrac{1}{ctga}=-\dfrac{4}{3}[/tex]  

Применяем формулу   [tex]\bf sin2a=\dfrac{2\, tga}{1+tg^2a}[/tex]   .

[tex]\bf sin2a=\dfrac{-2\cdot \dfrac{4}{3}}{1+\dfrac{16}{9}}=-\dfrac{8}{3\cdot \dfrac{25}{9}}=-\dfrac{8\cdot 3}{25}=-\dfrac{24}{25}[/tex]  

Замечание. Докажем формулу.

[tex]\bf sin2a=2\cdot sina\cdot cosa=\dfrac{2\cdot sina\cdot cosa}{sin^2a+cos^2a}=\dfrac{\dfrac{2\cdot sina\cdot cosa}{cos^2a}}{\dfrac{sin^2a+cos^2a}{cos^2a}}=\\\\\\=\dfrac{\dfrac{2\, sina}{cosa}}{\dfrac{sin^2a}{cos^2a}+1}=\dfrac{2\, tga}{1+tg^2a}[/tex]

Ответ:

[tex]sin2\alpha =-\frac{24}{25} .[/tex]

Решение:

[tex]sin2\alpha -?[/tex]

[tex]ctg\alpha =-\frac{3}{4} , 90^{o} < \alpha < 180^{o}[/tex]

→ Сначала нам нужно определить - в какой четверти находится угол α. Для этого обратимся к тригонометрической единичной окружности (см. вложение).
Мы видим, что [tex]\alpha[/tex] находится между двумя точками: [tex]90^{o}[/tex] и [tex]180^{o}[/tex]. Следовательно угол [tex]\alpha[/tex] находится во II четверти. Отсюда следует, что:

[tex]sin\alpha > 0,\\cos\alpha < 0,\\tg\alpha < 0,\\ctg\alpha < 0;[/tex]

Теперь можем приступить к вычислениям.

→ Нам известно, что [tex]ctg\alpha =-\frac{3}{4}[/tex]. Зная котангенс угла мы можем найти синус этого же угла. Для этого воспользуемся одним из следствий основного тригонометрического тождества:

[tex]1 +ctg^{2} \alpha =\frac{1}{sin^{2}\alpha } ;[/tex]

(Данную формулу мы можем получить, поделив обе части основного тригонометрического тождества на [tex]sin\alpha[/tex]:

[tex]sin^{2} \alpha +cos^{2} \alpha =1 |:(sin\alpha );\\\frac{sin^{2} \alpha }{sin^{2} \alpha } +\frac{cos^{2} \alpha }{sin^{2} \alpha } = \frac{1}{sin^{2} \alpha } ;\\1+ctg^{2} \alpha =\frac{1}{sin^{2} \alpha }.[/tex]).

Следовательно:

[tex]sin^{2} \alpha=\frac{1}{1+ctg^{2} \alpha } ;[/tex]

Значит:

[tex]sin^{2} \alpha = \frac{1}{1+(-\frac{3}{4} )^{2} } ;\\sin^{2} \alpha =\frac{1}{1+\frac{9}{16} } ;\\sin^{2} \alpha =1: (\frac{16}{16}+\frac{9}{16} ) ;\\sin^{2} \alpha =1:\frac{25}{16} ;\\sin^{2} \alpha =\frac{16}{25} ;\\[/tex]

[tex]sin \alpha =[/tex] ± [tex]\sqrt{\frac{16}{25} };[/tex]

[tex]sin\alpha =[/tex] ± [tex]\frac{\sqrt{16} }{\sqrt{25} };[/tex]

[tex]sin\alpha =[/tex] ± [tex]\frac{4 }{5}[/tex].

Мы получаем, что [tex]sin\alpha[/tex] равен или [tex]\frac{4 }{5}[/tex], или [tex]-\frac{4 }{5}[/tex]. Исходя из условия  [tex]sin\alpha > 0[/tex], значит нам подходит вариант:  [tex]sin\alpha =\frac{4 }{5}[/tex].

→ Зная синус угла мы можем найти косинус того же угла, воспользовавшись формулой основного тригонометрического тождества:

[tex]sin^{2} \alpha +cos^{2} \alpha=1;[/tex]

Следовательно:

[tex]cos^{2} \alpha =1-sin^{2} \alpha ;[/tex]

Значит:

[tex]cos^{2} \alpha =1-(\frac{4}{5} )^{2} ;\\cos^{2} \alpha =1-\frac{16}{25} ;\\cos^{2} \alpha =\frac{25}{25} -\frac{16}{25} ;\\cos^{2} \alpha =\frac{9}{25} ;[/tex]

[tex]cos\alpha =[/tex] ± [tex]\sqrt{\frac{9}{25} };[/tex]

[tex]cos\alpha =[/tex] ± [tex]\frac{\sqrt{9} }{\sqrt{25} } ;[/tex]

[tex]cos\alpha =[/tex] ± [tex]\frac{3}{5} .[/tex]

И снова мы получаем, что [tex]cos\alpha[/tex] равен или [tex]\frac{3 }{5}[/tex], или [tex]-\frac{3 }{5}[/tex]. Обратившись к условию, вспоминаем, что [tex]cos\alpha < 0[/tex], значит нам подходит вариант:  [tex]cos\alpha =-\frac{3 }{5}[/tex].

→ И нам осталось найти [tex]sin2\alpha[/tex]. Воспользуемся формулой синуса двойного угла:

[tex]sin2\alpha =2sin\alpha *cos\alpha ;[/tex]

(!) Данную формулу мы можем вывести из более общей формулы синуса суммы двух углов:

[tex]sin(\alpha +\beta )=sin\alpha *cos\beta +cos\alpha *sin\beta ;[/tex]

Тогда нужно представить синус двойного угла, как синус суммы двух одинаковых углов:

[tex]sin(\alpha +\alpha )=sin\alpha *cos\alpha +cos\alpha *sin\alpha ;\\sin2\alpha =2sin\alpha *cos\alpha ;[/tex]

Значит:

[tex]sin2\alpha =2*\frac{4}{5} * (-\frac{3}{5} );\\sin2\alpha =-\frac{2*4*3}{5*5} ;\\sin2\alpha =-\frac{24}{25} .[/tex]

__________
Удачи Вам! :)