Verified answer

Через вершину C прямоугольника ABCD проведена прямая, параллельная диагонали BD и пересекающая прямую AB в точке M. Через точку M проведена прямая, параллельная диагонали AC и пересекающая прямую BC в точке N. Найдите периметр четырехугольника ACMN, если диагональ BD равна 8 см

–––––––––––––––

Казалось бы очевидно-  стороны четырехугольника ACMN равны между собой и равны диагоналям прямоугольника. Тем не менее это нужно доказать.

МС║ВD по построению.

АВ║ СD - стороны прямоугольника, след, ВМ║СD 

Противоположные стороны четырехугольника МВСД лежат на параллельных прямых. ⇒

МВДС - параллелограмм.⇒

  ВМ=СD. Но СD=АВ ⇒ ВМ=АВ. 

СN ⊥ АМ и делит ее пополам. СВ - высота и медиана ∆ АСМ,⇒

∆ АСМ равнобедренный, и СВ его биссектриса. 

В ∆ АМN  отрезок NB –  медиана и высота ⇒ 

∆ МАN равнобедренный, и BN- его биссектриса.

AN= MN, a MN=MC=AC

∠АМN =∠MАС  как накрестлежащие при параллельных МN и АC и секущей АМ. 

Но углы равнобедренного ∆ САМ при АМ равны.⇒∠ АМN=∠СМА=∠САМ ,

МВ ⊥ СN⇒ является высотой ∆ NMC  и оо равенству углов при М  - биссектрисой. ⇒

 NMC -  равнобедренный, и NM=MC, отсюда следует равенство  AN=MN=MC=АС

Четырехугольник АСМN- ромб. 

АС- диагональ прямоугольника  ABCD и по условию равна 8

Периметр АСМN=8*4=32