Числа a и b иррациональные, причем a+b - число рациональное и a не равно -b. Докажите, что число a-2b иррациональное. Рациональным или иррациональным
является число a^2-ab-2b^2?
является число a^2-ab-2b^2?
Copyright © 2024 SCHOLAR.TIPS - All rights reserved.
Answers & Comments
Verified answer
Для решения надо вспомнить два полезных наблюдения.I. Сумма иррационального и рационального чисел - иррациональное число.
II. Произведение рационального числа, не равного нулю, на иррациональное число - иррациональное число.
(Оба наблюдения доказываются от противного, в итоге придем к противоречию: в первом случае иррациональное слагаемое - разность двух рациональных чисел, во втором - иррациональный сомножитель представляется в виде частного рациональных чисел).
Решение.
1) a - 2b = (a + b) - 3b - иррационально как сумма рационального по условию числа a+b и иррационального по наблюдению II числа (-3)*b
2) a^2 - ab - 2b^2 = a^2 + ab - 2ab - 2b^2 = a(a + b) - 2b(a + b) = (a + b)(a - 2b) - иррационально как произведение рационального ненулевого по условию числа a+b и иррационального по доказанному числу a-2b.