[tex]\mathrm{ctg}\,2x =\sqrt{3}[/tex]

[tex]2x=\mathrm{arcctg}\,\sqrt{3}+\pi n[/tex]

[tex]2x=\dfrac{\pi }{6} +\pi n[/tex]

[tex]x=\dfrac{\pi }{12} +\dfrac{\pi n}{2} ,\ n\in\mathbb{Z}[/tex]

Выполняем отбор корней:

[tex]0 < \dfrac{\pi }{12} +\dfrac{\pi n}{2} < 3[/tex]

[tex]0-\dfrac{\pi }{12} < \dfrac{\pi n}{2} < 3-\dfrac{\pi }{12}[/tex]

[tex]-\dfrac{1}{12} < \dfrac{n}{2} < \dfrac{3}{\pi } -\dfrac{1}{12}[/tex]

[tex]-\dfrac{1}{6} < n < \dfrac{6}{\pi } -\dfrac{1}{6}[/tex]

Оценим правую часть следующим образом:

Во-первых:

[tex]0.75\pi < 3.14 < \pi[/tex]

[tex]\Rightarrow 1.5\pi < 6.28 < 2\pi[/tex]

[tex]\Rightarrow 1.5\pi < 6 < 2\pi[/tex]

[tex]\Rightarrow \dfrac{1.5\pi }{\pi } < \dfrac{6}{\pi } < \dfrac{2\pi }{\pi }[/tex]

[tex]\Rightarrow 1.5 < \dfrac{6}{\pi } < 2[/tex]

Во-вторых:

[tex]0 < \dfrac{1}{6} < 0.5[/tex]

[tex]\Rightarrow -0.5 < -\dfrac{1}{6} < 0[/tex]

Значит:

[tex]1.5 -0,5 < \dfrac{6}{\pi }- \dfrac{1}{6} < 2-0[/tex]

[tex]1 < \dfrac{6}{\pi }- \dfrac{1}{6} < 2[/tex]

Тогда, полученному неравенству [tex]-\dfrac{1}{6} < n < \dfrac{6}{\pi } -\dfrac{1}{6}[/tex] удовлетворяют два целых числа: 0 и 1. Значит, решений, удовлетворяющих заданному условию - два.

Ответ: 2