Verified answer

Ответ:

[tex]f(x)=\dfrac{ax-4}{x-d}\ \ ,\ \ \ x=1\ ,\ y=3[/tex]  - асимптоты .

Графиком дробно-линейной функции вида  [tex]f(x)=\dfrac{ax+b}{cx+d}[/tex]    является

гипербола . Её удобно строить, когда выделена целая и дробная

части  заданной дроби, и она имеет вид   [tex]f(x)=m+\dfrac{k}{x+n}[/tex]  .

Асимптоты такой гиперболы - прямые, параллельные осям координат .

Вертикальная асимптота находится из уравнения  [tex]cx+d=0[/tex]  . В нашем случае это уравнение  [tex]x-d=0[/tex]  . Так как указано, что  асимптотой является прямая  х=1 , то подставляем вместо х число 1 и найдём  d :  [tex]1-d=0\ ,\ \ \bf d=1[/tex]  .

Горизонтальная асимптота находится из уравнения  [tex]y=\dfrac{a}{c}[/tex]   . В нашем случае это уравнение [tex]y=\dfrac{a}{1}\ ,\ \ y=a[/tex]  . По условию задано уравнение

асимптоты  у=3 , тогда  [tex]y=a=3\ \ ,\ \ \bf a=3[/tex]   .  

Получили дробно-линейную функцию   [tex]\bf f(x)=\dfrac{3x-4}{x-1}[/tex]  .

Преобразуем функцию , выделив целую часть .  

[tex]\displaystyle \frac{3x-4}{x-1}=\frac{3\cdot (x-\frac{4}{3})}{x-1}=3\cdot \frac{(x-1)+1-\frac{4}{3}}{x-1}=3\cdot \Big(\frac{x-1}{x-1}+\frac{1-\frac{4}{3}}{x-1}\Big)=\\\\\\=3\cdot \Big(1+\frac{-\frac{1}{3}}{x-1}\Big)=3-\frac{1}{x-1}[/tex]  

Гиперболу  [tex]\bf y=3-\dfrac{1}{x-1}[/tex]  можно построить или по точкам, либо с помощью параллельного переноса .

Сначала строим гиперболу  [tex]y=-\dfrac{1}{x}[/tex]  , расположенную во 2 и 4 четвертях ( из-за знака минус ) . Проходит через точки (-1 ; 1 ) , (-1/2 , 2) , (-2 ; 1/2 ) , ( 1 ; -1 ) , ( 2 ;-1/2 ) , (1/2 ; -2 ) . Асимптотами будут оси координат : х=0 , у=0 . Cиний график .

Затем сдвигаем гиперболу на 1 единицу вправо вдоль оси ОХ , получим гиперболу  [tex]y=-\dfrac{1}{x-1}[/tex]  . То есть все выше указанные точки сдвигаются на 1 вправо вдоль ОХ .  Например, точка (-1 ; 1 ) перейдёт в точку ( 0 ; 1 ) , а точка ( 1 ;-1 ) перейдёт в точку  ( 2 ; -1 ) и так далее . Асимптотами будут прямые  х=1 и у=0 . Чёрный график .

А теперь, если предыдущую гиперболу сдвинуть вдоль оси ОУ на 3 единицы вверх , то получим заданную гиперболу   [tex]y=3-\dfrac{1}{x-1}[/tex]  .

Точка ( 0; 1 ) перейдёт в точку ( 0 ; 4 ) , а точка ( 2 ;-1 ) перейдёт в точку

( 2 ; 2 ) , и так далее .

 Обратите внимание на слагаемое 3 (целая часть)  и на то , что горизонтальная асимптота имеет уравнение  у=3 .  Красный график .