Дан остроугольный треугольник ABC, где H - орто центр. Из вершин B и C опущены высоты D и E соответсвенно. Окружность, диаметром которой является отрезок DE, пересекает AB и AC в точках N и G. K - точка пересечения AH и NG. Найдите длину отрезка AK, если BD=20; BE=7; BC=25.
Answers & Comments
Verified answer
BD = 20, BE = 7, BC = 25, тогда из прям. ΔBEC и ΔBCD ⇒ CE = √(25² - 7²) = 24 ; CD = √(25² - 20²) = 15
Углы BEC и BDC видны из отрезка ВС под прямым углом ⇒ вокруг четырёхугольника BEDC можно описать окружность, т.е. сумма его противоположных углов в сумме дают 180°. Из этого следует, что ∠BCD = ∠AED, ∠CBE = ∠ADE ⇒ ΔАВС подобен ΔAED. Аналогично, четыр-ник ENCD - вписанный ⇒ ΔAED подобен ΔANG. Значит, ΔANG подобен ΔAED подобен ΔАВС, ∠АGN = ∠AED = ∠ACB, ∠ANG = ∠ADE = ∠ABC. Так как ∠ANG = ∠ABC, то NG || BC.
ΔABD подобен ΔАСЕ по двум углам ⇒ AD/AE = BD/СЕ = 20/24 = 5/6 ; Пусть AD = 5x, AE = 6x, тогда ΔAED подобен ΔАВС ⇒ AD/AE = AB/AC ; 5/6 = (6x + 15)/(5x + 7) ⇒ x = 3 . Значит, AD = 15, AE = 18. Заметим, что АВ = ВС = 25 ⇒ ΔАВС - равнобедренный, значит, ΔANG, ΔEAD - равноб-ые.
ΔАED - равноб-ый, DN - высота, медиана ⇒ AN = NE = 18/2 = 9
ΔABC - равноб-ый ⇒ CE = AF = 24 - по свойству высот, проведённых к боковым сторонам
ΔANG подобен ΔАВС: AN/AB = AK/AF ⇒ AK = (AN/AB)•AF = (9/25)•24 = 8,64
Ответ: 8,64