Verified answer

Геометрическая прогрессия:

По условию все члены - натуральные числа, значит и - натуральные

Найдем сумму первых 4 членов по формуле:

По условию эта сумма равна 80:

Преобразуем левую часть:

Предположим, что . Тогда:

Рассмотрим в качестве второго сомножителя числа - делители числа 80.

Имеется всего четыре точных квадрата:

- не геометрическая прогрессия.

(отрицательные значения не рассматриваем) - все члены прогрессии равны 1, их сумма равна 4 - не подходит.

- члены прогрессии равны 1, 2, 4, 8 в сумме дают 15 - не подходит.

- члены прогрессии равны 1, 3, 9, 27 в сумме дают 40 - не подходит.

При рассмотрении других значений , состав делителей числа будет уменьшаться, однако никаких новых чисел, отличных от ранее выписанных не будет.

Таким образом, остается определить может ли при каком-либо значении знаменатель равняться 1, 2 и 3.

Если , то последовательность постоянная. Очевидно. что каждый член такой прогрессии (если такие прогрессии допускаются по условию) равен . Наибольший член в таком случае равен 20.

Если , то рассмотрим формулу для суммы:

16/3 - не натуральное число, такой случай не удовлетворяет условию

Если , то также рассмотрим формулу для суммы:

Следовательно, члены прогрессии 2, 6, 18, 54. Наибольший - 54.

Ответ:

Прогрессия 20, 20, 20, 20 с максимальным элементом 20 (если учитывать рассмотрение постоянных прогрессий со знаменателем 1, потому что слово "наибольший", возможно, предполагает то, что все члены последовательности должны быть различны).

Прогрессия 2, 6, 18, 54 с максимальным элементом 54.