Дан произвольный угол,внутри которого взята точка А(которая не лежит на биссектр...

July 2022 1 29 Report

Дан произвольный угол,внутри которого взята точка А(которая не лежит на биссектрисе данного угла).Постройте окружность вписанную в данный угол,проходящую на точке А.

Answers & Comments

dnepr1

Verified answer

Пусть мы имеем угол 2α с вершиной в начале координат и одним лучом по оси Ох. Точка А имеет координаты (х;у).
Неизвестны координаты (хо;уо) центра окружности, проходящей через точку А и касающейся сторон угла, находящегося на биссектрисе угла.

Радиус окружности и координата уо = хо*tg α.
Уравнение окружности примет вид: (х-хо)²+(у-уо)² = (хо*tg α)².
Раскроем скобки и заменим уо:
(х-хо)²+(у-хо*tg α)² = (хо*tg α)².
х²-2хо*х+хо²+у²-2у*tg α*xo+xo²*tg²α = xo²*tg²α.
После сокращение и приведения подобных получаем квадратное уравнение: хо²-(2y*tg α+2x)*xo+(x²+y²) = 0.

Подставив известные данные в полученное уравнение, определим координату центра окружности хо.
Восстановив перпендикуляр до пересечения с биссектрисой, находим центр окружности и строим её.

2 votes Thanks 1

NikaZ26 Т.е. вы хотите сказать,что с помощью циркуля и линейки центр окружности найти невозможно?но почему?разве на любой точке взятой внутри любого угла может проходить больше 1-ой окружности,при том ,чтобы окружность была вписана в угол?а вообще задачу на уроке предложил на уроке мой учитель по математике.

dnepr1 Центр окружности можно найти, если самому выбрать точку касания стороны угла. Из этой точки провести отрезок в точку А, провести серединный перпендикуляр к этому отрезку до пересечения с биссектрисой - это и есть центр окружности. Это основано на задаче №8 по принципу нахождения центра описанной окружности около треугольника. Вершины его - точка А, симметричная ей точка относительно биссектрисы и выбранная точка касания.

cos20093 Я тут уже это делал, это вообще тривиальное построение. Надо построить ЛЮБУЮ окружность, касающуюся сторон угла c центром O1, провести луч из вершины угла через точку A до пересечения с этой окружностью в точке A1, и потом "сделать гомотетию" :) то есть провести AO II A1O1, точка O на биссектрисе.

cos20093 Ну и понятно, что у задачи два решения (то есть можно построить две окружности), и оба решения таким способом получаются.

cos20093 И уже так, не по делу :) Множество окружностей, касающихся сторон заданного угла, очень наглядно представляют саму идею гомотетии. Это множество переходит само в себя при любом таком преобразовании с центром в вершине угла (ну, с положительным коэффициентом, расширение с помощью вертикального угла снимает и это ограничение).

NikaZ26 а можете,доказать правильность построения,а то я что-то не понимаю

cos20093 что?!!!!

cos20093 Мне точно пора прекращать тут что-то делать. Ну как можно что-то доказать после того, как все уже доказано? Я не знаю... Я попробую еще 1 раз повторить то, что уже сказал, но как бы с другого конца. Предположим, что есть две окружности, касающиеся сторон угла. И есть луч из вершины угла, пересекающий обе окружности (каждую в двух точках, я выбираю пару точек, которые "ближе" к вершине)

cos20093 Тогда отношение расстояний от вершины до точек равно отношению расстояний до центров.

cos20093 Конечно, это надо доказать, и это не совсем элементарно, но можно (и нужно). Если есть хоть какое-то знакомство с гомотетией, это само собой очевидно. Но и без гомотетии это легко показать, надо просто покопаться.

Answers & Comments

Verified answer

reshite uravnenie xlgx 5lgx00001

vdseaf

v treugolnik avs vpisan kvadrat takchto odna iz ego storon lezhit na avnajdite

bokovye grani pravilnoj treugolnoj prizmy yavlyayutsya kvadrataminajdite ugol mezh

hajdite pervyj chlen arifmeticheskoj progressiiraznostkolichestvo chlenov posledo

ha storone bc ravnostoronnego treugolnika vzyata tochka ktak chto bc5bko cent

3...

4...

predstavte v vide proizvedeniya 11sinxcoxtgx 21 sinxcosx tgx

v trapecii avsd osnovanie ad3a a vsa ugol vad30 gradusova ugol ads60 gr

рекомендуемые вопросы

Helpful Links

Helpful Social