Hа стороне BC равностороннего треугольника взята точка K,так что BC=5*BK.O- центр вписанной и описанной окружности.Прямая КО пересекает АС в точке N,ON=1.Найдите S(ABC).
More Questions From This User See All
Copyright © 2024 SCHOLAR.TIPS - All rights reserved.
Answers & Comments
Verified answer
Дано: ВК=(1/5)*ВС, КС=(4/5)*ВС, ВН=(√3/2)*ВС (высота равностороннего треугольника), ОН=(√3/6)*ВС, (так как центр О делит ВН в отношении 2:1, считая от вершины).S=(√3/4)*ВС².
Опустим перпендикуляр КМ на основание АС.
Треугольники НВС и КМС подобны. МК/ВН=КС/ВС=4/5.
Отсюда МК=ВН*КС/ВС=(√3/2)*ВС*(4/5)*ВС/ВС=(2√3/5)*ВС.
Треугольники NKM и NOH подобны. МК/ОH=NК/ON. Отсюда
NK=МК*ON/ОH=(2√3/5)*ВС*1/(√3/6)*ВС=12/5. Тогда ОК=NK-ON= 7/5.
По свойству биссектрисы СО в треугольнике NKC: ON/OK=CN/KС. Отсюда CN=ON*KC/OK или
CN=(1*(4/5)*ВС)/(7/5)=(4/7)*ВС.
По теореме косинусов в треугольнике CNK имеем:
NK²=CN²+CK²-2*CN*NK*Cos60= (16/49)*ВС²+(16/25)*ВС² -2*(4/7)*(4/5)*ВС²*(1/2).
144/25= ВС²(624/1225). Отсюда ВС²= 3*49/13.
S=(√3/4)*ВС² = 147√3/52.