Дана пирамида SABC, в которой AB=AC=SB=SC=17, BC=SA=16. Точки M и N — середины рёбер BC и SA.

а) Докажите, что отрезок MN является общим перпендикуляром к прямым BC и SA.   б) Найдите объём пирамиды ABMN.

Объяснение:

1)BN-медиана ΔSАВ-равнобедренного⇒BN-высота и BN⊥АS.

CN-медиана ΔSАС-равнобедренного⇒СN-высота и СN⊥АS. Значит по признаку перпендикулярности прямой и плоскости АS⊥ВСN( она перпендикулярна 2-м пересекающимся прямым).А если AS перпендикулярна плоскости, то перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости , например ВС. Вывод AS⊥BC.

2)V(пирам)=1/3*S(осн)*h.

                           S(осн)=S(АВМ)=1/2*ВМ*АМ.

                           ВМ=8, АМ=√(17²-8²)=15.

                            S(осн)=0,5*8*15=60 (ед²)

Ищем высоту h из  ΔАNM-прямоугольного, т.к MN⊥AS. Применяем т. о среднем пропорциональном для катета и высоты.

Т.к. катет есть среднее пропорциональное между гипотенузой и проекцией катета, то AN=√(AM*AO) или AО=AN²:АМ=64/15.

Тогда ОМ=15-64/15=161/15

Высота NO-есть среднее пропорциональное между проекциями катетов на гипотенузу АМ. Тогда NO=√(АО*ОМ)=√(64/15*161/15)=8/15√161.

V(пирам)=1/3*60*8/15√161=32/3*√161.

PS. Не доказано, что NO " падает " на АМ.