Найдите отношение объёма октаэдра к объёму куба, вершинами которого являются центры граней октаэдра.

Объяснение:

1) Октаэдр это геометрическое тело из восьми граней, каждая их которых - правильный треугольник.  Пусть ребро октаэдра а.

V( октаэдра)=1/3*√2*а³ , ABCD-квадрат .

2) Пусть Р-центр правильного ΔАВМ .Тогда М-точка пересечения медиан .Тогда по т. о точке пересечения медиан   ⇒ .

3) Аналогично для правильного ΔDCМ ⇒    .

4) ΔМРК подобен ΔМXY по 2-м пропорциональным сторонам ( см п. 2,3) и равному углу между этими сторонами (∠РМК-общий).

Тогда  ,  ,РК= *а  .

5) V( куба)=( *а)³ = *а³ .  Тогда отношение объёмов будет равно :

= .