Данное неравенство выполняется не всегда !

Пусть a=b= -1   0>= (-1)^3*(-1) + (-1)*(-1)^3=2  0>=2 (неверно)

Найдем  промежуток на котором данное неравенство выполнено.

Cравним :

a^4-b^4 >= a^3b +a*b^3

Рассмотрим случай :  a<0 ;  b<0

a^2*b^2 >=0

Тогда можно поделить обе части неравенства на  a^2*b^2  не меняя  знак неравенства на  противоположный.

a^2/b^2  -b^2/a^2 >= a/b +b/a

Пусть :  a/b=t  

Поскольку :  a<0  и  b<0 , то  a/b = t>0

t^2 -(1/t)^2 >=  t + 1/t

(t -1/t)*(t+1/t) v t+1/t

t+1/t > 0 (поэтому на него можно поделить  не меняя  знак )

t>0   (поэтому на него можно умножить не меняя знак )

t-1/t >=1

t^2-t-1>=0

D= 1+4=5

(t -(1+√5)/2 )* ( t -(1-√5)/2)>=0

То  есть верно  только  для  тех a и b отношение которых принадлежит интервалу :

t∈ (-беск ; (1-√5)/2 ) v ( (1+√5)/2 ; +беск )

Вывод:  скорее всего это ошибка .

Думаю имелось в виду такое неравенство

a^4+b^4 >= a^3b +a*b^3

Докажем его:

a^4 -a^3*b +b^4 -a*b^3>=0

a^3*(a-b)  -b^3*(a-b) >=0

(a^3-b^3)*(a-b)>=0

(a-b)^2* (a^2+b^2+ab)>=0

тк   a<=0 и b<=0 , то  a*b>=0

Тогда  , учитывая неотрицательность квадратов :

(a-b)^2>=0

a^2+b^2>=0

a^2+b^2+ab>=0

Таким образом :

(a-b)^2* (a^2+b^2+ab)>=0

Что и требовалось доказать.