13512966

Число оканчивается на 6,значит, в квадрат возводится число, оканчивающее или на 4, или на 6.

1)   Предположим, что число, которое возводим в квадрат, оканчивается  на 4, т.е. имеет вид:

10n + 4, где n - любое натуральное число.

Возведём его в квадрат:

(10n + 4)² = 100n² + 2*10n*4 +16 = 100n² + 80n + 16 =20·(5n²+4n) +16

Произведение 20·(5n²+4n) даст предпоследнюю цифру, которая будет четной!

А в сумме с числом 16 последняя цифра 6, а предпоследняя четная в сумме с 1 станет нечетной,  следовательно, данное число, 13512966 , в котором предпоследняя цифра 6 (четная) не является квадратом.

2)  Предположим, что число, которое возводим в квадрат, оканчивается на 6, т.е. имеет вид:

10n + 6, где n - любое натуральное число.

Возведём его в квадрат:

(10n + 6)² = 100n² + 2*10n*6 +36 = 100n² + 120n + 36 = 20·(5n²+6n) +36

Произведение 20·(5n²+64n) даст предпоследнюю цифру, которая будет четной!

А в сумме с числом 36 последняя цифра 6, а предпоследняя четная в сумме с 3 станет нечетной,  следовательно, данное число, 13512966 , в котором предпоследняя цифра 6 (четная) не является квадратом.

Доказано.