Докажите тождество Помогите пожалуйста хотя бы с 1 из 2. Created by mvolturi. algebra-ru

Докажите тождество Помогите пожалуйста хотя бы с 1 из 2...

mvolturi @mvolturi

July 2022 1 54 Report

Докажите тождество Помогите пожалуйста хотя бы с 1 из 2

Answers & Comments

Vopoxov

Объяснение:

$\small2 \arcsin{x} = \arcsin(2x \sqrt{1 - {x}^{2} } ); \: 0 \leqslant x \leqslant \frac{ \sqrt{2} }{2}$

Рассмотрим по отдельности правую и левую часть тождества.

Т к имеются ограничения на значение х, для удобства можно произвести замену переменной:

$x = \sin{y} ; \\$

ограничив соответственно значение у пределами, такими что:

$0 \leqslant y \leqslant \tfrac{\pi}{4} < = > \sin{0} \leqslant \sin{y}{ =} x \leqslant \sin \tfrac{\pi}{4} \\ 0 \leqslant x \leqslant \tfrac{ \sqrt{2} }{2} \:$

После замены получаем следующее выражение. В левой части будет:

$\small2 \arcsin{( \sin{y}) } = 2y; \: 0 \leqslant y \leqslant \tfrac{\pi}{4} ;$

В правой части:

$\arcsin(2x \sqrt{1 - {x}^{2} } ) = \\ = \arcsin \big(2 \sin{y} \sqrt{1 - \sin {}^{2}y } \big)$

так как для

$\forall{y} \in [0;\tfrac{\pi}{4}]\: \sin{y} \geqslant 0; \: \cos{y} \geqslant 0$

то можем преобразоватт выражение в правой части следующим образом:

$\arcsin(2x \sqrt{1 - {x}^{2} } ) = \\ = \arcsin \big(2 \sin{y} \sqrt{1 - \sin {}^{2}y } \big) = \\= \arcsin \big(2 \sin{y} \sqrt{ \cos {}^{2}y } \big) = \\ = \arcsin \big(2 \sin{y} \: \cos {y} \big) = \\ = \arcsin( \sin{2y}) =2y; \: 0 \leqslant y \leqslant \frac{ \pi}{4}$

В результате, как мы видим, и в правой и в левой части мы получили одно и то же выражение. Следовательно, тождество верно

1 votes Thanks 1

mvolturi можно один вопрос. КАК ДО ТАКОГО ДОДУМАТЬСЯ???

Vopoxov Можно и вопрос, раз уже спросили:). А додуматься - несложно. Тут закономерность довольно четко прослеживается: явно видно основное тригонометрическое тождество точнее его следствие

Vopoxov То есть эта штука: (sin х)^2 + (cos x)^2 = 1

Vopoxov а отсюда видим, (соs х) = (cos x)^2 = 1

Vopoxov cos x= КОРЕНЬ(1-(sin х)^2)

Vopoxov отсюда и рождается идея о замене переменной на синус

Vopoxov (строго говоря, там выражение д.б. с модулем, но в нашем случае он не был важен)

mvolturi cпасибо !!!ъ

Answers & Comments

помогите пожалуйста, задачка простенькая, но условие покоя не дает! Почему в зад...

1)Выведите слово по одной букве в строке задом наперед. 2)В слове, записанном че...

PythonВводятся слова в столбик. Ввод заканчивается пустой строкой. Выведите слов...

C клавиатуры вводится количество чисел, затем сами числа. Выведите количество ра...

88 баллов Составить слово, которое получится, если из введенных слов брать с кон...

Определите количество Различных букв, стоящих в слове на нечетных местах.Python...

Задача4 Семь раз отрежь: Вводится слово затем число – шаг отреза. Сначала отруби...

Решите неравенство с аркфункцией −5 ≤ arctg^2 (2x) − 6 arctg( 2x )≤ 7...

3 примера по тригонометрии...

Примеры по тригонометрии...

рекомендуемые вопросы

Helpful Links

Helpful Social