Удачник66

Verified answer

Принцип мат. индукции состоит из 2 пунктов:
1) Убедиться, что при n=1 равенство выполняется.
2) Если равенство выполняется при каком-то n, доказать, что оно выполняется и для n+1.
Таким образом, мы доказали, что равенство выполняется при n=1, а дальше при n=2,3, и так далее. То есть при всех n.
10 задач это много, я сделаю несколько самых интересных.
2) При n=1 будет
1^2=1(1+1)(2*1+1)/6=1*2*3/6=1
Все верно.
Пусть при n оно верно, тогда
1^2+2^2+...+n^2=n(n+1)(2n+1)/6
При n+1 получится
1^2+2^2+(n+1)^2=(n+1)(n+2)(2n+3)/6
Получаем
n(n+1)(2n+1)/6+(n+1)^2=
=(n+1)(n+2)(2n+3)/6
Умножаем на 6 и делим на (n+1)
2n^2+n+6n+6=2n^2+4n+3n+6
Это верно, равенство доказано.
3) При n=1 будет
1^3=1^2*(1+1)^2/4=1*2^2/4=1
Все верно.
Пусть при n оно верно
1^3+2^3+...+n^3=n^2*(n+1)^2/4
Тогда при n+1 будет
1^3+2^3+...+(n+1)^3=
=(n+1)^2*(n+2)^2/4
Получаем
n^2*(n+1)^2/4+(n+1)^3=
=(n+1)^2*(n+2)^2/4
Умножаем на 4 и делим на (n+1)^2
n^2+4(n+1)=(n+2)^2
n^2+4n+4=(n+2)^2
Это верно, равенство доказано.
6) При n=1 будет
1*2=1(1+1)(1+2)/3=1*2*3/3=2
Это верно. Пусть при n оно верно.
1*2+2*3+...+n(n+1)=n(n+1)(n+2)/3
Тогда при n+1 будет
1*2+2*3+...+(n+1)(n+2)=
=(n+1)(n+2)(n+3)/3
Получаем
n(n+1)(n+2)/3+(n+1)(n+2)=
=(n+1)(n+2)(n+3)/3
Умножаем на 3 и делим (n+1)(n+2)
n+3=n+3
Верно, равенство доказано.
Остальные решаются точно также.