Два одинаковые круга, которые касаются друг друга, вписанные в острые углы прямоугольного треугольника. Площади этих кругов в сумме равны площади круга, вписанного в треугольник. Найти острые углы этого треугольника.. Created by атив1. geometriya-ru

Два одинаковые круга, которые касаются друг друга, вписанные в острые углы прямо...

cos20093

Verified answer

См. чертеж.
MK - общая касательная двух окружностей. N - точка пересечения BC и MK.
1) Прямоугольные треугольники BMN и MKA имеют равные углы, то есть подобны. Поскольку радиусы вписанных окружностей у них равны, эти треугольники равны между собой. То есть BM = MK.
2) Треугольник MKA подобен исходному треугольнику ABC, но его радиус r1 вписанной окружности в √2 меньше (радиусы связаны по условию 2*π(r1)^2 = πr^2).
отсюда и стороны MKA в √2 раз меньше сторон ABC.
Если обозначить AB = c; AC = b; BC = a; ∠CAB = α; то
MK = a/√2; BM = AB - AM = c - b/√2;
Отсюда a/c + b/c = √2; или sin(α) + cos(α) = √2;
Если возвести это в квадрат, получится sin(2α) = 1; то есть α = π/4;

2 votes Thanks 2

mathgenius А я бы соединил углы и центры окружностей,а тк центры окружностей лежат на бессектрисаx этих углов то эти прямые пересекутся в центре вписанной окружности. Далее опустив перпендикуляры в точки качания рассмотрим 2 пары подобных треугольников и найдем тем самым отношение радиуса вписанной окружности к гипотенузе а там формула 2R/c=(a+b-c)/c=cosa+sina-1!!!!

mathgenius Вот на мой взгляд красивое решение

Матов если я не прав (можете поправить) , то ход решения похож на мой там тоже опущены перпендикуляры

mathgenius Но с применением этой формулы 2r=a+b-c красиво получается

mathgenius Тут интересно число алгебраически догадаться что при делении с будет синус и косинус

mathgenius Удивительно что зная отношение гипотенузы к радиусу вписанной окружности можно найти углы треугольника

cos20093 Почему же удивительно? Если известны гипотенуза и радиус вписанной окружности, то известны и катеты. Если же известно отношение, то известны и отношения катетов к гипотенузе, то есть тригонометрические функции углов. Так что ничего удивительного, все естественно.

mathgenius Я говорю только само отношение. Интересней даже отношение радиуса описанной к радиусу вписанной окружности. То есть известно только r/c что и можно выразить в этой задаче.

mathgenius т 2r/c=cosa+sina-1

mathgenius Это такой способ решения задачи. А само отношений r/c просто найти если понять что прямые O1A и O2B пересекутся в центре вписанной окружности тк это гипотенузы этих углов.

Матов

Verified answer

Другая идея решения, проведем общую касательную к окружностям , получим что один их треугольников вписанный , тогда его центр окружности $O$ лежит на биссектрисе , так как и у большего треугольника $ABC$ центр так же лежит на биссектрисе , получаем что $AV$ проходит через оба центра .    $O;O_{1}$
$V \in BC$
Проведя радиусы $r;R$ меньшего и большего соответственно , получим их прямоугольных треугольников $AOE;AO_{1}N$
$AE=r*ctg( \frac{a}{2})\\
AN=R*ctg( \frac{a}{2} )\\\\
$
Отнимем
$(R-r)ctg\frac{a}{2}=EN\\
$ так как
   $2S_{menwix}=S_{bolwego}\\
$
получим
$2AE^2=AN^2 \\
\sqrt{2}AE=AN$ .

$AE(\sqrt{2}-1)=(R-r)*ctg\frac{a}{2}\\
AE=r*ctg(\frac{a}{2})\\
r*ctg\frac{a}{2}(\sqrt{2}-1)=(R-r)*ctg\frac{a}{2}\\
\sqrt{2}r*ctg\frac{a}{2}-r*ctg\frac{a}{2}=R*ctg\frac{a}{2}-rctg\frac{a}{2}\\
R=\sqrt{2}r$
Это возможно когда треугольник прямоугольный и равнобедренный , тогда углы
$ABC=45а$

1 votes Thanks 1

Answers & Comments

Verified answer

Verified answer

рекомендуемые вопросы

Helpful Links

Helpful Social