tex]Для любых значений параметров а и b найти решение системы...

July 2022 1 12 Report

[tex] \left { {{ \left \{ {{x-y\sqrt{x^{2}-y^{2}}}=a}\atop \frac{y-x\sqrt{x^{2}-y^{2}}}\sqrt{1-x^{2}+y^{2}}}=} {b} [/tex]
Для любых значений параметров а и b найти решение системы

Answers & Comments

Матов

Verified answer

$x-y\sqrt{x^2-y^2}=a\\
y-x\sqrt{x^2-y^2}=b\sqrt{1-(x^2-y^2)}\\\\
$

отнимем и про суммируем
$x-y\sqrt{x^2-y^2}=a\\
y-x\sqrt{x^2-y^2}=b\sqrt{1-(x^2-y^2)}\\\\
x-y-y\sqrt{x^2-y^2} + x\sqrt{x^2-y^2}=a-b\sqrt{1-(x^2-y^2)}\\ 
x-y\sqrt{x^2-y^2} + y-x\sqrt{x^2-y^2}=a+b\sqrt{1-(x^2-y^2)}\\\\
(x-y)(1+\sqrt{x^2-y^2})=a-b\sqrt{1-(x^2-y^2)}\\
 (x+y)(1-\sqrt{x^2-y^2})=a+b\sqrt{1-(x^2-y^2)}\\\\
$
умножим

$(x-y)(1+\sqrt{x^2-y^2})=a-b\sqrt{1-(x^2-y^2)}\\
 (x+y)(1-\sqrt{x^2-y^2})=a+b\sqrt{1-(x^2-y^2)}\\\\ 
(x^2-y^2)(1-x^2+y^2)=a^2-b^2(1-x^2+y^2)\\\\
x-y=n\\
x+y=t\\\\
n(1+\sqrt{nt})=a-b\sqrt{1-nt}\\
t(1-\sqrt{nt})=a+b\sqrt{1-nt}\\\\
nt(1-nt)=a^2-b^2(1-nt)\\ nt=z\\
z(1-z)=a^2-b^2(1-z)\\

$
Квадратное уравнение относительно $z$

$
z=\frac{\sqrt{-4a^2+b^4+2b^2+1}-b^2+1}{2}\\
z=\frac{-\sqrt{-4a^2+b^4+2b^2}-b^2+1}{2}\\\\
2z=-b^2+1\\
2(x^2-y^2)=1-b^2\\
x^2-y^2=\frac{1-b^2}{2}\\ 
$

$x^2=\frac{1-b^2}{2}+y^2\\\\
x=\sqrt{\frac{1-b^2}{2}+y^2}\\
\sqrt{\frac{1-b^2}{2}+y^2}-y\sqrt{\frac{1-b^2}{2}}=a\\
\frac{1-b^2}{2}=w\\
\sqrt{w+y^2}-y\sqrt{w}=a\\
w+y^2=a^2+2ay\sqrt{w}+y^2w\\
y^2(w-1)+2ay\sqrt{w}+a^2-w=0\\
D=4a^2*w-4(w-1)*(a^2-w)=\sqrt{4(w^2-w+a^2)}\\
y=\frac{-2a\sqrt{w}+2\sqrt{w^2-w+a^2}}{2w-2}=\frac{-2a\sqrt{\frac{1-b^2}{2}+2\sqrt{\frac{1-b}{2}^2-\frac{1-b}{2}+a^2}}}{-b^2-1}\\\\
$

выражаем $x^2-y^2=1-b^2$ зная $y$

1 votes Thanks 1

Answers & Comments

Verified answer

рекомендуемые вопросы

Helpful Links

Helpful Social