Верно ли, что любое положительное рациональное число можно представить как отношение произведения факториалов (не обязательно разных) простых чисел? Например [tex] \frac{10}{9}= \frac{2!*5!}{3!*3!*3!} [/tex]
Copyright © 2024 SCHOLAR.TIPS - All rights reserved.
Answers & Comments
Verified answer
Верно.Покажем, что любое натуральное число N можно представить в указанном виде (а значит, и отношение натуральных чисел будет представимо в таком виде).
Если N = 1, можно написать, например, N = 2! / 2!
По основной теореме арифметики любое натуральное число, большее 1, однозначно (с точностью до порядка сомножителей) представимо в виде произведения простых множителей:
(alpha - номер простого числа; все простые числа расположены в порядке возрастания)
Докажем требуемое утверждение индукцией по alpha_k.
База: Для alpha_k = 1 утверждение очевидно: первое простое число совпадает со своим факториалом: 2 = 2!
Переход. Пусть для всех alpha_k < m утверждение задачи выполнено. Пусть N = Q * p^l, причем номер p равен m и Q не делится на p.
1) Q по предположению представимо в нужном виде.
2) Заметим, что p = p! / (p-1)!. (p-1)! не содержит простых чисел с номерами, не меньших m, так что по предположению индукции представимо в виде дроби нужного вида. Тогда и p!/(p-1)! представимо в нужном виде.
3) Остается перемножить дробь для Q и l дробей для p.
Переход доказан.