Две окружности пересекаются в точках А и В. Через точки пересечения окружностей проведены прямые, которые пересекаются в точке С и пересекают окружности в точках М, К, Р и Е. Докажите, что треугольники СКР и СМЕ подобны. Найдите СК и СР, если МЕ = 9 см, КР = 6 см, СМ = 12 см, СЕ = 15 см.
More Questions From This User See All
Answers & Comments
Verified answer
По теореме: Если из точки, лежащей вне окружности, проведены две секущие, то произведение одной секущей на ее внешнюю часть равно произведению другой секущей на ее внешнюю часть. (как следствие теоремы о касательной и секущей из одной точки).
Для меньшей окружности
СА•СК=СВ•СР, откуда
СА:СВ=СК:СР
Для большей окружности
СЕ•СВ=СМ•СА, откуда
СМ:СЕ=СА:СВ. ⇒
СК:СР=СМ:СЕ ⇒СК:СМ=СР:СЕ
Второй признак подобия треугольников. Если две стороны одного треугольника соответственно пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы между этими сторонами равны, то треугольники подобны.
Из подобия ∆ СКР и Δ СМЕ следует отношение
СК:СМ=РК:ЕМ
СК:12=6:9⇒ СК=8 см.
и
СР:СЕ=КР:МЕ
⇒ СР=10 см