Verified answer

Ответ:

Линейное дифф. ур. 1 порядка .

[tex]y'+\dfrac{2}{x}\, y=\dfrac{4}{x^2}\ ,\ \ \ y(1)=0\\\\Zamena:\ \ \ y=uv\ ,\ \ y'=u'v+uv'\\\\u'v+uv'+\dfrac{2}{x}\, uv=\dfrac{4}{x^2}\\\\u'v+u\Big(v'+\dfrac{2}{x}\, v\Big)=\dfrac{4}{x^2}\\\\\\a)\ \ v'+\dfrac{2}{x}\, v=0\ \ ,\ \ \dfrac{dv}{dx}=-\dfrac{2}{x}\, v\ \ ,\ \ \ \displaystyle \int \frac{dv}{v}=-2\int \frac{dx}{x}\ \ ,\\\\ln|v|=-2\, ln|x|\ \ \ \Rightarrow \ \ \ v=x^{-2}\ \ ,\ \ v=\frac{1}{x^2}[/tex]

[tex]\displaystyle b)\ \ u'\cdot \frac{1}{x^2}=\frac{4}{x^2}\ \ ,\ \ \ \frac{du}{dx}\cdot \frac{1}{x^2}=\frac{4}{x^2}\ \ ,\ \ \ \int du=4\int dx\ \ ,\ \ u=4x+C[/tex]

c)  Общее решение:   [tex]y=\dfrac{1}{x^2}\cdot (4x+C)[/tex]  

Найдём константу, используя начальные условия.

[tex]y(1)=0\ \ \Rightarrow \ \ \ y(1)=\dfrac{1}{1^2}\cdot (4\cdot 1+C)=0\ \ ,\ \ \ 4+C=0\ \ ,\ \ C=-4[/tex]

Частное решение   [tex]\widetilde{y}=\dfrac{1}{x^2}\cdot (4x-4)\ \ ,\ \ \ \boxed{\widetilde{y}=\dfrac{4}{x^2}\cdot (x-1)\ }[/tex]