Verified answer

Ответ:

x₁ = 2 ; x₂ = 16

Пошаговое объяснение:

[tex] \displaystyle \frac{2}{ \log_{2}x } + \frac{1}{\log_{2}x - 2} = 1[/tex]

Найдём одз:

[tex] \displaystyle \left. \begin{cases} {x > 0 } \\ \log_{2}x \neq0 \\ { \log_{2}x - 2 \neq0} \end{cases} \right. \left. \begin{cases} { x > 0 } \\ x \neq1\\ { x \neq4 } \end{cases} \right. \Rightarrow \sf x \in (0;1) \text{U}(1; 4)\text{U} (4; + \infty )[/tex]

Пусть [tex] \log_2x= t [/tex] , таким образом:

[tex] \displaystyle \frac{2}{t} + \frac{1}{t - 2} - 1 = 0[/tex]

Напишем над общим знаменателем:

[tex] \displaystyle \frac{2(t - 2) + t - t(t - 2)}{t(t - 2)} = 0[/tex]

Дробь равна нулю только когда числитель равен нулю:

[tex]2(t - 2) + t - t(t - 2) = 0 \\ [/tex]

Раскрываем скобки и вычисляем подобные:

[tex]2t - 4 + t - t {}^{2} + 2t = 0 \\ \\ t {}^{2} - 5t + 4 = 0 \\ \\ D=(-5)^2-4\cdot 4 = 25 - 16 = 9 \\ \\ t_{1,2} = \frac{-(-5)\pm \sqrt{9}}{2\cdot 1} = \frac{5 \pm3}{2} \\ \\ \Rightarrow t_1 = 1 \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: t_2 = 4[/tex]

Вернёмся к старой замене:

[tex] 1)\log_2x=t_1 \\\\ \log_{2}x = 1 \\\\ 2 {}^{1} = x \\\\ x_1 = 2 \\\\ 2)\log_2x=t_2 \\\\ \log_{2}x = 4 \\\\ 2 {}^{4} = x \\\\ x_2 = 16[/tex]

По одз корни подходят .

Ответ: x₁ = 2 ; x₂ = 16