Verified answer

Дан правильный тетраэдр с ребром 3√6.

Так как сечение проходит через середины боковых рёбер, то линии сечения в плоскостях граней ABC и ADC параллельны ребру АС.

Поэтому расстояние от точки А до заданной плоскости равно этому же расстоянию от любой точки на прямой АС.

Проведём перпендикулярное сечение к заданной плоскости через апофему  DM.

Получим равнобедренный треугольник ОТМ.

Боковые стороны его равны половине апофемы А.

А = 3√6*cos 30° = 3√6*(√3/2) = 9√2/2.

OT = TM = 9√2/4.

OM = A/3 = 9√2/6 = 3√2/2.

Решаем этот треугольник и находим высоту МЕ = 2, которая и есть расстояние до заданной плоскости.

Можно  использовать формулу h = 2S/OT.

Высота пирамиды - правильного тетраэдра - равна а√(2/3) = 6.

Значит высота треугольника ОТМ = 6/2 = 3.

S = (1/2)*3*OM = (3/2)*3√2/2 = 9√2/4.

h = 2*(9√2/4)/(9√2/4) = 2.

a)

Плоскость (OEF) проходит через через среднюю линию △ADC.

EF||AC, следовательно плоскость (OEF) параллельна AC и ее след KL в грани ABC также параллелен AC, KL||AC.

По теореме о пропорциональных отрезках KL делит BC, BM, BA в равном отношении 2:1 (O - пересечение медиан, BO:OM =2:1)

Теорема Менелая для △BAD

BK/KA *AE/ED *DT/TB =1 => 2/1 *1/1 *DT/TB =1 => DT=DB

Аналогично для △BCD.

Прямые KE и LF - значит и плоскость (ОEF) - пересекают прямую DB в точке T так, что DT=DB.

б)

Плоскость (OEF) параллельна AC, достаточно найти расстояние от любой точки прямой до плоскости.

BM, DM - медианы и высоты => AC⊥(BMD) => (BMD)⊥(OEF)

ON - линия пересечения перпендикулярных плоскостей.

MH⊥ON => MH⊥(OEF), искомое расстояние.

Далее решаем в плоскости (BMD)

Правильный тетраэдр, O - центр основания.

DO =√6/3 *3√6 =6 (высота правильного тетраэдра)

N - середина DM (т Фалеса)

ON=NM (медиана из прямого угла)

△ONM - равнобедренный => ∠MOH=∠DMO

△MOH~△DMO => MH/DO =OM/DM

BM=DM, BO/OM =2/1 => OM/DM =1/3 => MH =DO/3 =2