Ответ:

Объем пирамиды равен 324 см³.

Объяснение:

В правильную четырехугольную пирамиду вписана сфера, площадь которой равна 36π см². Боковая грань пирамиды наклонена к плоскости ее основания под углом 60°. Найдите объем пирамиды (в см³).

Дано: KABCD - правильная пирамида;

Сфера(О,R) - вписана в пирамиду;

Sсф. = 36π см²;

Боковая грань наклонена к ABCD под углом 60°.

Найти: Vп.

Решение:

• В правильной четырехугольной пирамиде основание - квадрат, боковые грани - равные равнобедренные треугольники.

⇒ ABCD - квадрат.

• Прямая, проведенная на плоскости через основание наклонной перпендикулярно ее проекции, перпендикулярна и самой наклонной.

МН ⊥ CD   ⇒   KH ⊥ CD

• Угол между двумя плоскостями - угол между перпендикулярами к линии их пересечения, проведенных в данных плоскостях.

⇒ ∠MHK = 60°

Для решения достаточно рассмотреть сечение ЕКН.

ΔЕКН - равнобедренный.

∠MHK = 60°

• Если в равнобедренном треугольнике есть угол 60°, то он равносторонний.

⇒ ΔЕКН - равносторонний.

• Площадь сферы равна:

        Sсф. = 4πR²

36π = 4πR²

R² = 9   ⇒  R = 3 см.

Рассмотрим ΔМОН.

• Радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной.

⇒ ΔМОН - прямоугольный.

• Центр вписанной окружности лежит на биссектрисе угла.

⇒ ∠МНО = 60° : 2 = 30°

• Котангенс угла - отношение прилежащего катета к противолежащему.

[tex]\displaystyle ctg30^0=\frac{MH}{MO}\\ \\MH=MO\cdot \sqrt{3}=3\sqrt{3}\;_{(CM)}[/tex]

Рассмотрим ΔЕКН - равносторонний.

• Высоты равностороннего треугольника являются медианами.

⇒ ЕК = КН = ЕН = МН · 2 = 6√3 (см)

По теореме Пифагора найдем высоту КМ:

КМ² = КН² - МН² = 108 - 27 = 81   ⇒  КМ = 9 см.

• Объем пирамиды равен:

     Vп. = 1/3 · Sосн. · h,

где h - высота пирамиды.

• Найдем площадь квадрата по формуле:

        S = a²,

где а - сторона квадрата.

АD = EH = 6√3 см

Sосн, = 108 см²; h = KM = 9 см.

Vп. = 1/3 · 108 · 9 = 324 (см³)

Объем пирамиды равен 324 см³.

#SPJ1