Ответ:

Щоб знайти проміжки зростання та спадання функції f(x) = x³ + 3x² - 9x - 1, потрібно знайти її похідну f'(x) та проаналізувати її знаки на інтервалах.

Обчислимо похідну функції f(x):

f'(x) = 3x² + 6x - 9

Тепер знайдемо корені похідної, прирівнявши її до нуля:

3x² + 6x - 9 = 0

x² + 2x - 3 = 0

(x + 3)(x - 1) = 0

x₁ = -3, x₂ = 1

Тепер можемо проаналізувати знаки похідної на інтервалах:

1. Інтервал (-∞, -3):

f'(-4) = 3(-4)² + 6(-4) - 9 = 51 > 0, отже функція зростає на цьому інтервалі.

2. Інтервал (-3, 1):

f'(-2) = 3(-2)² + 6(-2) - 9 = -3 < 0, отже функція спадає на цьому інтервалі.

3. Інтервал (1, +∞):

f'(2) = 3(2)² + 6(2) - 9 = 27 > 0, отже функція зростає на цьому інтервалі.

Таким чином, функція зростає на інтервалах (-∞, -3) та (1, +∞), та спадає на інтервалі (-3, 1).

Объяснение: