Ответы:

• 1) had been waiting
• 2) happened
• 3) had been travelling
• 4) was writing
• 5) is taking
• 6) is interviewing
• 7) has (already) planted

Пояснения:

1) I had been waiting for him for some time when he came.

• Используем Past Perfect Continuous, т.к. речь идет о продолжительном действии, которое началось в прошлом (я ждал его некоторое время) и завершилось к определенному моменту в будущем (я закончил его ждать, когда он пришел). На время группы Perfect также указывает сигнал for.
• Past Perfect Continuous образуется по схеме had + been + Ving (глагол с окончанием -ing).

2) The accident happened three days ago.

• Используем Past Simple, т.к. стоит сигнал three days ago.

• Past Simple образуется с помощью глагола во второй форме (V2).

3) We had been travelling for six weeks when my friend fell ill.

• Past Perfect Continuous, аналогично предложению 1.

4) My brother was writing a letter at this time yesterday.

• Используем Past Continuous, т.к. речь идет о действии, совершающемся в прошлом в конкретное время (at this time yesterday).
• Past Continuous образуется по схеме was/were + Ving (глагол с окончанием -ing).

5) She is taking part in the competition next week.

• Используем Present Continuous, т.к. речь идет о запланированном действии в ближайшем будущем.
• Present Continuous образуется по схеме am/is/are + Ving (глагол с окончанием -ing).

6) The journalist is interviewing him at the moment.

• Используем Present Continuous, т.к. речь идет о действии, происходящем в данный момент, а также т.к. стоит сигнал at the moment.  
• Present Continuous образуется по схеме am/is/are + Ving (глагол с окончанием -ing).

7) He has already planted the tree.

• Используем Present Perfect, т.к. стоит сигнал already.
• Present Perfect образуется по схеме have/has + V3 (третья форма глагола либо Past Participle).