Используя метод математической индукции, докажите, что. Created by g2590757. algebra-ru

----------------------------------------------------------------- (РЕШЕНИЕ)База индукцииПри утверждение верно. Гипотеза индукции. Пусть утверждение верно при т.е. справедливо неравенство Индукционный переходДокажем что тогда справедливо неравенство при т.е. что тогда справедливо неравенствоили используя предположение нужно доказать чтоилииличто так как обе части неотрицательны, то равносильночто очевидно вернотаким образом на основании принципа мат. индукции неравенство доказано.----------------(более логичное решение)неравенство равносильно неравенствузаметим что при n є N, поєтомут.е. нужно получили требуемое

Используя метод математической индукции, докажите, что...

g2590757 @g2590757

July 2022 1 7 Report

Используя метод математической индукции, докажите, что

Answers & Comments

dtnth

Verified answer

-----------------------------------------------------------------
(РЕШЕНИЕ)
База индукции
При $n=1$ утверждение верно. $1 \leq 2-\frac{1}{1}$

Гипотеза индукции. Пусть утверждение верно при $n=k$
т.е. справедливо неравенство
$1+\frac{1}{4}+\frac{1}{9}+..+\frac{1}{k^2} \leq 2 - \frac{1}{k}$

Индукционный переход
Докажем что тогда справедливо неравенство при $n=k+1$
т.е. что тогда справедливо неравенство
$1+\frac{1}{4}+\frac{1}{9}+\frac{1}{k^2}+\frac{1}{(k+1)^2} \leq 2 - \frac {1}{k+1}$

или используя предположение нужно доказать что
$2-\frac{1}{k}+\frac{1}{(k+1)^2} \leq 2 - \frac{1}{k+1}$
или
$\frac{1}{(k+1)^2}+\frac{1}{k+1} \leq \frac{1}{k}$
или
что
$\frac{1+k+1}{(k+1)^2 }\leq \frac{1}{k}$
$\frac{k+2}{(k+1)^2} \leq \frac{1}{k}$
так как обе части неотрицательны, то равносильно
$(k+2)k \leq (k+1)^2$
$k^2+2k \leq k^2+2k+1$
$0 \leq 1$
что очевидно верно
таким образом на основании принципа мат. индукции неравенство доказано.
----------------
(более логичное решение)
неравенство равносильно неравенству
$\frac{1}{4}+\frac{1}{9}+...+\frac{1}{n^2} \leq 1 - \frac{1}{n}$

заметим что при n є N, $n \geq 1$
$\frac{1}{n^2} \leq \frac{1}{n(n-1)}$
поєтому
$\frac{1}{4}+\frac{1}{9}+...+\frac{1}{n^2}
 \leq 
\frac{1}{1*2}+\frac{1}{2*3}+...+\frac{1}{n(n-1)}=$
$\frac{2-1}{1*2}+\frac{3-2}{2*3}+...+\frac{n-(n-1)}{n(n-1)}=$
$\frac{2}{1*2}-\frac{1}{1*2}+\frac{3}{2*3}-\frac{2}{2*3}+...+\frac{n}{n(n-1)}-\frac{n-1}{n(n-1)}=$
$1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+...+\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}=1-\frac{1}{n}$

т.е. нужно получили требуемое

2 votes Thanks 1

Answers & Comments

Verified answer

rebyata pomogite ravnosilny li sleduyushie neravenstva otvet obosnujte

ispolzuya metod matematicheskoj indukcii dokazhite chto pri lyubom naturalnom n

ispolzuya logicheskie operacii zapishite vyskazyvaniya inspektorov sostavte proi

rebyat pomogite pozhalujsta yavlyaetsya li schyotnym mnozhestvo celyh chisel delyashihsya

srochno rebyat ne metodom podbora zadano dvuznachnoe chislo summa kvadratov ego c

rebyayayayat pomogite pozhalujsta yavlyaetsya li schyotnym mnozhestvo celyh chisel delyashih

iz naturalnogo chisla vychli summu ego cifr i poluchili 2016 najdite naibolshee v

srochno rebyat zadano dvuznachnoe chislo summa kvadratov ego cifr ravna 68 esli e

min37e2af27f9c04e3a32cf1f2ae87a3e1a 15024

рекомендуемые вопросы

Helpful Links

Helpful Social