Пусть О - центр сферы. О лежит на АА1.

Если сфера с центром на АА1 касается ребра ВВ1, то длина ребра А1В1 = R (радиусу сферы)

Точка М делит А1В1 в отношении 4:1, т.е. А1М = 4R/5

ОА1М - прямоугольный треугольник с гипотенузой равной R и катетом А1М = 4R/5

Значит второй катет ОА1 = 3R/5

Сфера касается основания АВС, значит ОА = R

Получаем АА1 = АО + ОА1 = R + 3R/5 = 16

R = 10

АА1 = 16 = h

АВ = 10

Из условия задачи не ясно какова площадь основания АВС (Пусть она будет S)

Тогда объем призмы V = Sh = 16S

Если принять в условии, что призма правильная (а не просто прямая) тогда АВС - равнобедренный треугольник со стороной 10 и площадь его  25sqrt(3)

тогда V = 400sqrt(3)