Ответ:

Пошаговое объяснение:

Для знаходження області збіжності степеневого ряду можна скористатися ознакою Даламбера або ознакою Коші-Адамара.

Ознака Даламбера:

Нехай задано степеневий ряд ∑a_nx^n. Якщо існує границя

lim |a_{n+1}x^{n+1}/a_nx^n| = lim |a_{n+1}/a_n||x| = L,

то ряд збігається абсолютно при |x|<1/L та розбігається при |x|>1/L.

Обчислимо границю за ознакою Даламбера для даного ряду:

lim |a_{n+1}x^{n+1}/a_nx^n| = lim |(n+1)^3*(x+3)^{2(n+1)+1}/(n+2)!n^3(x+3)^{2n+1}|

= lim |(n+1)/(n+2)|*|(x+3)^2| = |x+3|^2.

Отже, за ознакою Даламбера ряд збігається абсолютно при |x+3|^2<1, тобто при -2<x<-4.

Ознака Коші-Адамара:

Нехай задано степеневий ряд ∑a_n*x^n. Якщо існує границя

L = lim sup |a_n|^(1/n),

то ряд збігається абсолютно при |x|<1/L та розбігається при |x|>1/L.

Обчислимо границю за ознакою Коші-Адамара для даного ряду:

L = lim sup |a_n|^(1/n) = lim sup ((n^3*(x+3)^(2n+1))/(n+1)!)^(1/n)

= lim sup ((n^3*(x+3)^2)/(n+1))^(1/n) = |x+3|^2.

Отже, за ознакою Коші-Адамара ряд збігається абсолютно при |x+3|^2<1, тобто при -2<x<-4.

Отже, область збіжності даного степеневого ряду складається з усіх точок з інтервалу (-4, -2).