Представим многогранник как два тетраэдра с общим основанием.
Максимальная площадь основания - площадь правильного треугольника, вписанного в окружность R.
S =3√3/4 R^2
Максимальная суммарная высота тетраэдров 2R.
V =V1+V2 =1/3 S (h1+h2) =1/3 *3√3/4 R^2 *2R =√3/2 R^3
10 votes Thanks 8
antonovm
Здравствуйте , а почему именно такой многогранник ? У четырёхугольной пирамиды также 5 вершин
siestarjoki
4-угольную пирамиду также можно разделить на два тетраэдра
siestarjoki
У меня другой вопрос. Среди всех треугольников, вписанных в данную окружность, наибольшую площадь имеет равносторонний треугольник. Как это доказать без производных?
siestarjoki
Например: Возьмем хорду. Наибольшая площадь на хорде у равнобедренного треугольника (т.к. наибольшая высота - на серединном перпендикуляре). Равнобедренный относительно всех сторон - равносторонний. (но я понимаю, что это не доказательство)
antonovm
Решение от Прасолова для правильного многоугольника : https://prntscr.com/15cwbzo
antonovm
Для вашего многогранника всё логично : максимальная площадь - площадь правильного треугольника , вписанного в большой круг и при этом ( одновременно ) сумма высот равна диаметру , а с четырёхугольной пирамидой не так ; увеличение высоты приводит к уменьшению площади основания
siestarjoki
зачем рассматривать 4-угольную пирамиду? Делим ее на два тетраэдра с общим основанием и максимизируем суммарный объем
siestarjoki
высоты перпендикулярны общему основанию, их сумма максимальна, когда равна наибольшему отрезку в сфере, 2R
antonovm
Да , всё верно , вашу картинку можно рассматривать как изображение четырёхугольной пирамиды , вершина которой лежит на большом круге . Спасибо за решение и комментарии
Answers & Comments
Verified answer
Ответ:
V =√3/2 R^3 =√3/2 (2√3)^3 =36
Объяснение:
Представим многогранник как два тетраэдра с общим основанием.
Максимальная площадь основания - площадь правильного треугольника, вписанного в окружность R.
S =3√3/4 R^2
Максимальная суммарная высота тетраэдров 2R.
V =V1+V2 =1/3 S (h1+h2) =1/3 *3√3/4 R^2 *2R =√3/2 R^3