Найдите все такие натуральные числа m, что произведение факториалов первых m нечётных натуральных чисел равно факториалу суммы первых m натуральных чисел.
More Questions From This User See All
Copyright © 2024 SCHOLAR.TIPS - All rights reserved.
Answers & Comments
Verified answer
При m=1,2,3,4 легко проверить, что 1!·3!·...·(2m-1)!=(1+2+...+m)!.При m=5, правая часть равна 15!, а левая заканчивается на 9!, т.е. правая часть делится на 13, а левая - нет. Значит равенство невозможно.
Аналогично, при m=6, правая часть делится на 13, а левая только на простые не большие 11.
При всех m≥7 величина 1+2+...+m=(1+m)m/2≥4m. Но есть такой известный факт, который называется постулат Бертрана (его я доказывать не буду). Так вот он утверждает, что между n и 2n всегда можно найти простое число. А значит между 2m и 4m есть простое число, которое делит правую часть (т.к. она больше (4m)!) и очевидно не делит левую часть, т.к. в ней все простые делители меньше 2m. Значит для m≥7 решений нет. Итак, ответ: m∈{1, 2, 3, 4}