найдите значение выражения). Created by Monikabayraktar. algebra-ru

Возводим в квадрат(квадрат суммы)=7-4√3+2√(49-16*3)+7+4√3=14+2=16√16=4

найдите значение выражения)...

АннаАрт $\sqrt{7-4 \sqrt{3}} + \sqrt{7+4 \sqrt{3}}$

Способ №1. Представление подкоренного выражения в виде квадрата двучлена.

Упростим: $\sqrt{7-4 \sqrt{3}}$
Пусть $7-4 \sqrt{3}=(x-y \sqrt{3} )^2$ , x, y - натуральные
Тогда $7-4 \sqrt{3}=(x-y \sqrt{3} )^2=x^2+3y^2-2xy \sqrt{3}$
Приравняв, свободные от квадратного корня числа и коэффициенты, стоящие перед корнемполучим систему уравнений:
$\left \{ {{x^2+3y^2=7} \atop {2xy=4}} \right. \\ \\ 
 \left \{ {{x^2+3y^2=7} \atop {xy=2}} \right. \\ \\$
Так как числа x, y – натуральные, то получимследующие системы:
$(1)\left \{ {{x^2+3y^2=7} \atop {x=1, y=2}} \right. \\ \\ 
(2)\left \{ {{x^2+3y^2=7} \atop {x=2, y=1}} \right. \\ \\$
или
$(1)\left \{ {{1^2+3*2^2=7} \atop {x=1, y=2}} \right. \\ \\ 
(2)\left \{ {{2^2+3*1^2=7} \atop {x=2, y=1}} \right. \\ \\ \\ 
(1)\left \{ {{1+3*4=7} \atop {x=1, y=2}} \right. \\ \\ 
(2)\left \{ {{4+3*1=7} \atop {x=2, y=1}} \right. \\ \\ \\ 
(1)\left \{ {{1+12=7} \atop {x=1, y=2}} \right. \\ \\ 
(2)\left \{ {{4+3=7} \atop {x=2, y=1}} \right. \\ \\$
и тем самым только система (2) имеет натуральныерешения: x=2, y=1.
Следовательно $7-4 \sqrt{3}=(2-1 \sqrt{3} )^2 \\ \\ 
 \sqrt{7-4 \sqrt{3}} = \sqrt{(2-1 \sqrt{3})^2} =|2- \sqrt{3}|=2- \sqrt{3} \\ \\ 
 \sqrt{7-4 \sqrt{3}} =2- \sqrt{3}$

Также преобразуем $\sqrt{7+4 \sqrt{3}}$
$7+4 \sqrt{3}=(x+y \sqrt{3})^2=x^2+3y^2+2xy \sqrt{3} \\ 
x=2, y=1 \\ 
7+4 \sqrt{3}=(2+1 \sqrt{3})^2 \\ 
 \sqrt{7+4 \sqrt{3}} = \sqrt{(2+1 \sqrt{3})^2} =|2+ \sqrt{3}|=2+ \sqrt{3} \\ 
\sqrt{7+4 \sqrt{3}}=2+ \sqrt{3}$

Тогда:
$\sqrt{7-4 \sqrt{3}} + \sqrt{7+4 \sqrt{3}}=2- \sqrt{3} +2+ \sqrt{3} =2+2=4$

Способ №2. Формула сложного радикала.
$\sqrt{a+/-\sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a+\sqrt{a^2-b}}{2}}+/-\sqrt{\frac{a-\sqrt{a^2-b}}{2}}}$

$\sqrt{7-4\sqrt{3}}=\sqrt{7-\sqrt{16*3}}=\sqrt{7-\sqrt{48}}= \\ \\ =\sqrt{\frac{7+\sqrt{7^2-48}}{2}}-\sqrt{\frac{7-\sqrt{7^2-4}}{2}}}=\sqrt{\frac{7+\sqrt{49-48}}{2}}-\sqrt{\frac{7-\sqrt{49-48}}{2}}}= \\ \\ =\sqrt{\frac{7+\sqrt{1}}{2}}-\sqrt{\frac{7-\sqrt{1}}{2}}}=\sqrt{\frac{8}{2}}-\sqrt{\frac{6}{2}}}=\sqrt{4}-\sqrt{3}=2-\sqrt{3}$

$\sqrt{7+4\sqrt{3}}=\sqrt{7+\sqrt{16*3}}=\sqrt{7+\sqrt{48}}= \\ \\ 
=\sqrt{\frac{7+\sqrt{7^2-48}}{2}}+\sqrt{\frac{7-\sqrt{7^2-48}}{2}}}=\sqrt{\frac{7+\sqrt{49-48}}{2}}+\sqrt{\frac{7-\sqrt{49-48}}{2}}}= \\ \\ 
=\sqrt{\frac{7+\sqrt{1}}{2}}+\sqrt{\frac{7-\sqrt{1}}{2}}}=\sqrt{\frac{8}{2}}+\sqrt{\frac{6}{2}}}=\sqrt{4}+\sqrt{3}=2+\sqrt{3}$

Тогда:
$\sqrt{7-4 \sqrt{3}} + \sqrt{7+4 \sqrt{3}}=2- \sqrt{3} +2+ \sqrt{3} =2+2=4$

3 votes Thanks 4

Gerren Да, сложновато для школьного уровня

Answers & Comments

reshite pozhalujstae3079b689d298ff40d1a818db4a9a17c 67518

reshite pozhalujstacaa5c07ff13dd94ba20d5ac0cf796127 91586

reshite uravnenie pozhalujstae8ac2ed3d8aaffae611a2090d13a868c 96220

reshite pozhalujsta77d5d59b3e6e6e52b408b32e14e7c180 97845

pomogite s resheniem pozhalujsta0dc7ab2c3055e2677f7a97e36dc6c3a7 6855

pomogite s resheniem28db0a32916cea1a43d5e5d3f607dbad 39766

pomogite reshit pozhalujsta ne poluchaetsya78d8c5d9d2db37ebba9e93848bfa3f95 56031

pomogite pozhalujsta6b63bd168b21ec4d89f99c688b36deb1 71513

pomogite s resheniem pozhalujsta64122478049926c73c247b3056e00763 68078

reshite pozhalujsta uravneniya0ebd5b323333ed5fd2e13a64937c3c4e 94940

рекомендуемые вопросы

Helpful Links

Helpful Social