Найти предел функции. Правила Лопиталя применять нельзя. Created by restIess. algebra-ru

Ответ:Объяснение:1 Запишем2 Умножим на 1Но мы представим 1 как дробь , такое действие еще называют домножением на сопряжённое3 Соберем все в одну дробь4 Заметим в знаменателе разность квадратов где 5 Упростим знаменатель6 Представим дробь как произведение7 Представим предел произведения как произведение пределов8 Посчитаем первый предел9 Так как то мы можем заметить в пределе на 10 Умножим выражение пол пределом на 1Но 1 мы представим в виде 11 Вынесем константу (3) за предел12 Имеем первый замечательный предел, он равен 1ОТВЕТ

Найти предел функции. Правила Лопиталя применять нельзя...

KmathX

Verified answer

Ответ:

$6\sqrt2$

Объяснение:

1 Запишем

$\displaystyle \lim_{x\to0} \dfrac{\arcsin 3x}{\sqrt{2+x}-\sqrt2}$

2 Умножим на 1

Но мы представим 1 как дробь $\dfrac{\sqrt{2+x}+\sqrt2}{\sqrt{2+x}+\sqrt2}$ , такое действие еще называют домножением на сопряжённое

$\displaystyle \lim_{x\to0} \dfrac{\arcsin 3x}{\sqrt{2+x}-\sqrt2}\cdot\dfrac{\sqrt{2+x}+\sqrt2}{\sqrt{2+x}+\sqrt2}$

3 Соберем все в одну дробь

$\displaystyle \lim_{x\to0} \dfrac{\big(\sqrt{2+x}+\sqrt2\big)\arcsin 3x}{\big(\sqrt{2+x}-\sqrt2\big)\big(\sqrt{2+x}+\sqrt2\big)}$

4 Заметим в знаменателе разность квадратов

$(a-b)(a+b)=a^2-b^2$ где

$a=\sqrt{2+x}\\b=\sqrt2$

$\displaystyle \lim_{x\to0} \dfrac{\big(\sqrt{2+x}+\sqrt2\big)\arcsin 3x}{2+x-2}$

5 Упростим знаменатель

$\displaystyle \lim_{x\to0} \dfrac{\big(\sqrt{2+x}+\sqrt2\big)\arcsin 3x}{x}$

6 Представим дробь как произведение

$\displaystyle \lim_{x\to0} \big(\sqrt{2+x}+\sqrt2\big)\cdot\dfrac{\arcsin 3x}{x}$

7 Представим предел произведения как произведение пределов

$\displaystyle \lim_{x\to0} \big(\sqrt{2+x}+\sqrt2\big)\cdot\lim_{x\to0}\dfrac{\arcsin 3x}{x}$

8 Посчитаем первый предел

$\displaystyle \big(\sqrt{2+0}+\sqrt2\big)\cdot\lim_{x\to0}\dfrac{\arcsin 3x}{x}$

$\displaystyle 2\sqrt{2}\cdot\lim_{x\to0}\dfrac{\arcsin 3x}{x}$

9 Так как $x\sim 3x~(x\to0)$ то мы можем заметить в пределе $x\to0$ на $3x\to0$

$\displaystyle 2\sqrt{2}\cdot\lim_{3x\to0}\dfrac{\arcsin 3x}{x}$

10 Умножим выражение пол пределом на 1

Но 1 мы представим в виде $\dfrac33$

$\displaystyle 2\sqrt{2}\cdot\lim_{3x\to0}\dfrac{3\arcsin 3x}{3x}$

11 Вынесем константу (3) за предел

$\displaystyle 6\sqrt{2}\cdot\lim_{3x\to0}\dfrac{\arcsin 3x}{3x}$

12 Имеем первый замечательный предел, он равен 1

$\displaystyle 6\sqrt{2}\cdot1$

ОТВЕТ

$6\sqrt2$

8 votes Thanks 8

aliekestor Спасибо

NNNLLL54

Verified answer

$\lim\limits_{x \to 0}\dfrac{arcsin3x}{\sqrt{2+x}-\sqrt2}=\lim\limits _{x \to 0}\dfrac{arcsin3x\cdot (\sqrt{2+x}+\sqrt2)}{(\sqrt{2+x}-\sqrt2)(\sqrt{2+x}+\sqrt2)}=\\\\\\=\lim\limits _{x \to 0}\dfrac{arcsin3x\cdot (\sqrt{2+x}+\sqrt2)}{2+x-2}=\Big[\ arcsin3x\sim 3x\, ,\ (3x)\to 0\ \Big]=\\\\\\=\lim\limits _{x \to 0}\dfrac{3x\cdot (\sqrt{2+x}+\sqrt2)}{x}=\lim\limits_{x \to 0}3(\sqrt{2+x}+\sqrt2)=3\cdot 2\sqrt2=6\sqrt2$

6 votes Thanks 3

Answers & Comments

Verified answer

Ответ:

$6\sqrt2$

Объяснение:

1 Запишем

$\displaystyle \lim_{x\to0} \dfrac{\arcsin 3x}{\sqrt{2+x}-\sqrt2}$

2 Умножим на 1

3 Соберем все в одну дробь

4 Заметим в знаменателе разность квадратов

5 Упростим знаменатель

6 Представим дробь как произведение

$\displaystyle \lim_{x\to0} \big(\sqrt{2+x}+\sqrt2\big)\cdot\dfrac{\arcsin 3x}{x}$

7 Представим предел произведения как произведение пределов

$\displaystyle \lim_{x\to0} \big(\sqrt{2+x}+\sqrt2\big)\cdot\lim_{x\to0}\dfrac{\arcsin 3x}{x}$

8 Посчитаем первый предел

$\displaystyle \big(\sqrt{2+0}+\sqrt2\big)\cdot\lim_{x\to0}\dfrac{\arcsin 3x}{x}$

$\displaystyle 2\sqrt{2}\cdot\lim_{x\to0}\dfrac{\arcsin 3x}{x}$

9 Так как $x\sim 3x~(x\to0)$ то мы можем заметить в пределе $x\to0$ на $3x\to0$

$\displaystyle 2\sqrt{2}\cdot\lim_{3x\to0}\dfrac{\arcsin 3x}{x}$

10 Умножим выражение пол пределом на 1

11 Вынесем константу (3) за предел

12 Имеем первый замечательный предел, он равен 1

$\displaystyle 6\sqrt{2}\cdot1$

ОТВЕТ

$6\sqrt2$

Verified answer

Найти уравнение касательной плоскости и нормали к заданной поверхности S в точке...

tex] удовлетворяют заданным условиям:...

Найти область определения функции и изобразить ее на чертеже...

Проверить, удовлетворяет ли указанному уравнению данная функция Z...

Вычислить предел функции не используя метод Лопиталя...

Вычислить предел функции, не используя метод Лопиталя...

рекомендуемые вопросы

Helpful Links

Helpful Social